- 函数的极值与导数的关系
- 共7619题
①函数f（x）在区间（-3，1）内单调递减；
②函数f（x）在区间（1，7）内单调递减；
③当x=-3时，函数f（x）有极大值；
④当x=7时，函数f（x）有极小值．
正确答案
②④
解析
解：因为图象为函数f（x）的导函数的图象，由图象可知：
当x∈（-3，1）时，导数大于0，故应为单调递增，故①错误；
当x∈（1，7）时，导数小于0，故为单调递减，故②正确；
在x=-3 的左右两侧导函数均大于0，即函数都增，故不是极值点，故③错误；
而当x=时，导函数为0，导数值先负后正，即函数先减后增，故为极小值点，故④正确．
故答案为：②④
已知函数f（x）=x3+ax2+b（a，b∈R）在x=-2处取极值为1，则ab=______．
正确答案
解：∵f（x）=x3+ax2+b，∴f′（x）=3x2+2ax
∵函数f（x）=x3+ax2+b（a，b∈R）在x=-2处取极值为1，
∴
∴a=3，b=-3
∴f′（x）=3x2+6x=3x（x+2），满足题意
∴ab=-9
故答案为：-9．
解析
解：∵f（x）=x3+ax2+b，∴f′（x）=3x2+2ax
∵函数f（x）=x3+ax2+b（a，b∈R）在x=-2处取极值为1，
∴
∴a=3，b=-3
∴f′（x）=3x2+6x=3x（x+2），满足题意
∴ab=-9
故答案为：-9．
已知定义在R上的奇函数f（x）=ax3-2bx2+cx+4d（a，b，c，d∈R）且x=1时，f（x）取得极小值-
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）当，x∈[-1，1]时，函数图象上是否存在两点，使得过此两点处的切线互相垂直？证明你的结论．
正确答案
解：（Ⅰ）∵f（x）是奇函数，∴f（0）=0，∴d=0．又 f（1）=-f（-1），
∴b=0，∴f（x）=ax3 +cx，f′（x）=3ax2+c．
由f′（1）=0 及 f（1）=-
∴f（x）=
（Ⅱ）令 f′（x）=0，解得 x=1，或 x=-1．∵f′（x）在-1的左侧大于0，右侧小于0，
f′（x）在1的左侧小于0，右侧大于0，故f（x）的增区间为（-∞，-1），（1，+∞），减区间为（-1，1）．
（Ⅲ）当x∈[-1，1]时，函数图象上不存在两点使结论成立．假设图象上存在两点A、B，时的过此两点的
切线互相垂直，则由f′（x）=
且 
故假设不成立．
解析
解：（Ⅰ）∵f（x）是奇函数，∴f（0）=0，∴d=0．又 f（1）=-f（-1），
∴b=0，∴f（x）=ax3 +cx，f′（x）=3ax2+c．
由f′（1）=0 及 f（1）=-
∴f（x）=
（Ⅱ）令 f′（x）=0，解得 x=1，或 x=-1．∵f′（x）在-1的左侧大于0，右侧小于0，
f′（x）在1的左侧小于0，右侧大于0，故f（x）的增区间为（-∞，-1），（1，+∞），减区间为（-1，1）．
（Ⅲ）当x∈[-1，1]时，函数图象上不存在两点使结论成立．假设图象上存在两点A、B，时的过此两点的
切线互相垂直，则由f′（x）=
且
故假设不成立．
[1]函数f（x）=x3+ax2+3x-9，已知f（x）在x=-3时取得极值，则a=______．
[2]观察下列等式：1=1，1-4=-（1+2），1-4+9=（1+2+3），1-4+9-16=-（1+2+3+4），…由此推测第n个等式为______．（不必化简结果）
正确答案
5
1-4+9-16+…+（-1）n+1n2=（-1）n+1（1+2+3+…+n）
解析
解：[1]函数f′（x）=3x2+2ax+3，
又f（x）在x=-3时取得极值，
∴f′（-3）=3×9-6a+3=0，解得a=5．
[2]由等式：1=1，1-4=-（1+2），1-4+9=（1+2+3），1-4+9-16=-（1+2+3+4），…
可见第n个等式左侧是通项为（-1）n+1n2的前n项和，右侧为（-1）n+1（1+2+3+…+n），
所以第n个等式为 1-4+9-16+…+（-1）n+1n2=（-1）n+1（1+2+3+…+n）．
故答案为：[1]5；[2]1-4+9-16+…+（-1）n+1n2=（-1）n+1（1+2+3+…+n）．
已知函数
（1）若函数
（2）若函数f（x）在x=1处取得极大值，求实数a的值；
（3）若a≥0，求f（x）在区间[0，1]上的最大值．
正确答案
解：（1）∵f′（x）=x2-（2a+1）x+（a2+a），
∴
∵h（x）为奇函数，
∴f′（x）=x2-（2a+1）x+（a2+a）为偶函数，即2a+1=0，
∴
（2）∵f′（x）=x2-（2a+1）x+（a2+a）=（x-a）[x-（a+1）]，
令f‘（x）=0，得x1=a+1，x2=a，
∴f'（x），f（x）随x的变化情况如下表：
∴a=1．
（3）∵a＞-1，∴a+1＞0，
当a≥1时，f'（x）≥0对x∈[0，1]成立，
∴当x=1时，f（x）取得最大值
当0＜a＜1时，在x∈（0，a），f'（x）＞0，f（x）单调递增，在x∈（a，1）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，
∴当x=a时，f（x）取得最大值
当a=0时，在x∈（0，1），f'（x）＜0，f（x）单调递减，
∴当x=0时，f（x）取得最大值f（0）=0；
综上所述，当a≥1时，f（x）在x=1取得最大值
当0≤a＜1时，f（x）取得最大值
解析
解：（1）∵f′（x）=x2-（2a+1）x+（a2+a），
∴
∵h（x）为奇函数，
∴f′（x）=x2-（2a+1）x+（a2+a）为偶函数，即2a+1=0，
∴
（2）∵f′（x）=x2-（2a+1）x+（a2+a）=（x-a）[x-（a+1）]，
令f‘（x）=0，得x1=a+1，x2=a，
∴f'（x），f（x）随x的变化情况如下表：
∴a=1．
（3）∵a＞-1，∴a+1＞0，
当a≥1时，f'（x）≥0对x∈[0，1]成立，
∴当x=1时，f（x）取得最大值
当0＜a＜1时，在x∈（0，a），f'（x）＞0，f（x）单调递增，在x∈（a，1）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，
∴当x=a时，f（x）取得最大值
当a=0时，在x∈（0，1），f'（x）＜0，f（x）单调递减，
∴当x=0时，f（x）取得最大值f（0）=0；
综上所述，当a≥1时，f（x）在x=1取得最大值
当0≤a＜1时，f（x）取得最大值
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