热门试卷

解：（I）f′（x）=3x2+4x+1

令f′（x）=0解得x1=-1或x2=-

当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下：

∴当x=-1时，f（x）取得极大值为-4

当x=时，f（x）取得极小值为；

（Ⅱ）设F（x）=f（x）-g（x）=x3+（2-a）x2+4

∵F（x）≥0在[0，+∞）恒成立⇔F（x）min≥0，

x∈[0，+∞） 且F′（x）=3x2+（4-2a）x

令{F^‘}（x）=0，解得x=0，x=

∵a＞2，

∴当时，F'（x）＜0

当时，F'（x）＞0

∴当x∈（0，+∞）时，

即

解得a≤5，

∴2＜a≤5

当x=0时，F（x）=4成立

故综上所述：实数a的取值范围是a∈（2，5]．

解：（1）∵f（x）=2x3-9x2+12x-3，

∴f′（x）=6x2-18x+12，

令f′（x）=0，可得x=1或x=2

∴y极大值=f（1）=2，y极小值=f（2）=1；

（2）∵关于x的方程f（x）-a=0有3个实根，y极大值=f（1）=2，y极小值=f（2）=1，

∴1＜a＜2．

解：（Ⅰ）  

令f‘（x）=0，得到x1=1，x2=a．

（1）当a=1时，f（x）在定义域单调递增，没有极小值点．

（2）当a＞1时，x变化时．f′（x），f（x）的变化情况如表：

所以x=1是函数的极大值点，x=a是函数的极小值点；

（3）当0＜a＜1时，x变化时．f′（x），f（x）的变化情况如表：

所以x=1是函数的极小值点，x=a是函数的极大值点；

综上所述．当0＜a＜1时，x=1是函数的极小值点；当a＞1时，x=a是函数的极小值点；

（II）若曲线y=f（x）在点A（m，f（m）），B（n，f（n））处的切线都与y轴垂直，则f′（m）=0，f′（n）=0，

由（I）的讨论知，m=1，n=a或m=a，n=1，f（1）=--a，f（a）=--a+alna．

∴函数y=f（x）在区间[m，n]上存在零点，且单调，则有f（1）f（a）≤0，

即（--a）（--a+alna）≤0，

∴（+a-alna）≤0，故，

下面证明此不等式不成立．

令g（a）=，则g′（a）=-=，

于是当a∈（0，2），g′（a）＞0，a∈（2，+∞），g′（a）＜0，

所以，g（a）在（0，2）单调递增，在[2，+∞）单调递减，

所以函数在a=2取得最大值g（2）=ln2-2＜0．

所以，所以．

故不存在满足要求的常数a．-------（12分）

解：（1）求导函数，（2分）

∵函数f（x）在x=1，x=处取得极值，

∴，∴，∴．                                   （4分）

（2）函数f（x）的定义域是（0，+∞），

因为f‘（1）=2，所以b=2a-1．                                      （5分）

所以                  （7分）

要使f（x）在（0，+∞）上是单调函数，只要f'（x）≥0或f'（x）≤0在（0，+∞）上恒成立．

当a=0时，恒成立，所以f（x）在（0，+∞）上是单调函数；   （9分）

当a＜0时，令f'（x）=0，得x1=-1，，

此时f（x）在（0，+∞）上不是单调函数；                                   （10分）

当a＞0时，要使f（x）在（0，+∞）上是单调函数，只要1-2a≥0，即

综上所述，a的取值范围是．                                      （12分）