- 函数的极值与导数的关系
- 共7619题
已知
Aa=-2
Ba=2
Ca=
Da=0
正确答案
解析
解：求导函数，可得y′=acosx+cos3x
∵
∴
∴a=2
故选B．
若函数f（x）=x（x-c）2在x=2处有极大值，则常数c为（ ）
正确答案
解析
解：∵函数f（x）=x（x-c）2=x3-2cx2+c2x，它的导数为f′（x）=3x2-4cx+c2，
由题意知，在x=2处的导数值为 12-8c+c2=0，∴c=6，或 c=2，
又函数f（x）=x（x-c）2在x=2处有极大值，故导数值在x=2处左侧为正数，右侧为负数．
当c=2时，f′（x）=3x2-8x+4=3（x-
当c=6时，f′（x）=3x2-24x+36=3（x2-8x+12）=3（x-2）（x-6），
满足导数值在x=2处左侧为正数，右侧为负数．故 c=6．
故选 B．
若函数f（x）=x3-3bx2+3bx有两个极值点，则实数b的取值范围是（ ）
正确答案
解析
解：由题意，f′（x）=3x2-6bx+3b，
∵f（x）=x3-3bx2+3bx，有有两个极值点，
∴方程f′（x）=0必有两个不等实根，
∴△＞0，即（-6b）2-4×3×3b＞0，
解得，b＜0，或b＞1．
故选C．
“a=1”是“函数f（x）=
正确答案
解析
解：函数f（x）=
即函数的导数等于0无解或有唯一解（但导数在点的两侧符号相同）．
函数f（x）=
∴△=a2-2a≤0，∴0≤a≤2，
由于“a=1”⇒“0≤a≤2”；反之不成立．
故“a=1”是“函数f（x）=
故选A．
已知函数f（x）=
（Ⅰ）求f（x）的极值；
（Ⅱ）若函数f（x）的图象与函数g（x）=1的图象在区间（0，e2]上有公共点，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）设各项为正的数列{an}满足：
正确答案
（Ⅰ）解：函数的定义域为（0，+∞），求导数
令f′（x）=0得x=e1-a，
当x∈（0，e1-a）时，f′（x）＞0，∴f（x）是增函数；
当x∈（e1-a，+∞），f′（x）＜0，∴f（x）是减函数；
∴f（x）在x=e1-a处取得极大值，f（x）极大值=f（e1-a）=ea-1，无极小值．
（Ⅱ）解：①当e1-a＜e2，即a＞-1时，
由（Ⅰ）知，f（x）在（0，e1-a）上是增函数，在（e1-a，e2）上是减函数，
∴
∵若函数f（x）的图象与函数g（x）=1的图象在区间（0，e2]上有公共点，
∴ea-1≥1
∴a≥1
∵a＞-1，∴a≥1
②当e1-a≥e2，即a≤-1时，f（x）在区间（0，e2]上是增函数，
∴f（x）在区间（0，e2]上的最大值为f（e2）=
∴原问题等价于
∴a≥e2-2
∵a≤-1，∴无解
综上，实数a的取值范围是[1，+∞）．
（Ⅲ）证明：令a=1，由（Ⅰ）知，
∵a1=1，假设
从而an+1=lnan+an+2≤2an+1
∴
即
∴
解析
（Ⅰ）解：函数的定义域为（0，+∞），求导数
令f′（x）=0得x=e1-a，
当x∈（0，e1-a）时，f′（x）＞0，∴f（x）是增函数；
当x∈（e1-a，+∞），f′（x）＜0，∴f（x）是减函数；
∴f（x）在x=e1-a处取得极大值，f（x）极大值=f（e1-a）=ea-1，无极小值．
（Ⅱ）解：①当e1-a＜e2，即a＞-1时，
由（Ⅰ）知，f（x）在（0，e1-a）上是增函数，在（e1-a，e2）上是减函数，
∴
∵若函数f（x）的图象与函数g（x）=1的图象在区间（0，e2]上有公共点，
∴ea-1≥1
∴a≥1
∵a＞-1，∴a≥1
②当e1-a≥e2，即a≤-1时，f（x）在区间（0，e2]上是增函数，
∴f（x）在区间（0，e2]上的最大值为f（e2）=
∴原问题等价于
∴a≥e2-2
∵a≤-1，∴无解
综上，实数a的取值范围是[1，+∞）．
（Ⅲ）证明：令a=1，由（Ⅰ）知，
∵a1=1，假设
从而an+1=lnan+an+2≤2an+1
∴
即
∴
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