函数的极值与导数的关系
共7619题

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题型：单选题

单选题

设a∈R，若函数y=eax-2x，x∈R有大于零的极值点，则（　　）

A0＜a＜2

B-2＜a＜0

Ca＞2

Da＜2

正确答案

解析

解：∵y=eax-2x，∴y′=aeax-2，

∵函数有大于零的极值点，

∴y′=0有正根，即aeax-2=0有正根

也即函数y=aeax与函数y=2的图象交点横坐标大于0，则交点必在y轴右侧．

若a为负值，则y=aeax的图象在x轴下方，与直线y=2无交点，不符合题意．

若a为正值，函数y=aeax图象如右图所示，

∵函数y=aeax与y轴交于点（0，a），若要与直线y=2交于y轴右侧，则（0，a）点在直线y=2下方，∴a＜2，

又∵a＞0．

∴0＜a＜2

故选A

题型：简答题

简答题

设m，n（m≠n）是函数f（x）=ax3+bx2-a2x（a＞0）的两个极值点．

（1）若m=-1，n=2，求函数f（x）解析式；

（2）若|m|+|n|=2，求b的最大值．

正确答案

解：（1）∵f（x）=ax3+bx2-a2x（a＞0），

∴f‘（x）=3ax2+2bx-a2（a＞0）

依题意有，

∴．

解得，

∴f（x）=6x3-9x2-36x．

（2）∵f'（x）=3ax2+2bx-a2（a＞0），

依题意，m，n是方程f'（x）=0的两个根，

且|m|+|n|=2，

∴（m+n）2-2mn+2|mn|=8．

∴，

∴b2=3a2（6-a）

∵b2≥0，

∴0＜a≤6，

设p（a）=3a2（6-a），

则p′（a）=-9a2+36a．

由p'（a）＞0得0＜a＜4，

由p'（a）＜0得a＞4．

即：函数p（a）在区间（0，4]上是增函数，

在区间[4，6]上是减函数，

∴当a=4时，p（a）有极大值为96，

∴p（a）在（0，6]上的最大值是96，

∴b的最大值为．

解析

解：（1）∵f（x）=ax3+bx2-a2x（a＞0），

∴f‘（x）=3ax2+2bx-a2（a＞0）

依题意有，

∴．

解得，

∴f（x）=6x3-9x2-36x．

（2）∵f'（x）=3ax2+2bx-a2（a＞0），

依题意，m，n是方程f'（x）=0的两个根，

且|m|+|n|=2，

∴（m+n）2-2mn+2|mn|=8．

∴，

∴b2=3a2（6-a）

∵b2≥0，

∴0＜a≤6，

设p（a）=3a2（6-a），

则p′（a）=-9a2+36a．

由p'（a）＞0得0＜a＜4，

由p'（a）＜0得a＞4．

即：函数p（a）在区间（0，4]上是增函数，

在区间[4，6]上是减函数，

∴当a=4时，p（a）有极大值为96，

∴p（a）在（0，6]上的最大值是96，

∴b的最大值为．

题型：单选题

单选题

原命题：“若a=1，则函数没有极值”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为（　　）

正确答案

解析

解：当a=1时，函数，

所以函数没有极值，

故“若a=1，则函数没有极值”为真命题，因而其逆否命题也为真；

其逆命题为“若函数没有极值，则a=1”

由于函数没有极值，

即函数的导数等于0无解或有唯一解（但导数在点的两侧符号相同）．

函数的导数为 f′（x）=x2+ax+，

∴△=a2-2a≤0，∴0≤a≤2，所以其逆命题是假命题，因而其否命题也是假命题；

故答案为 C

题型：简答题

简答题

已知函数f（x）=ax2+bx+5，记f（x）的导数为f′（x）．

（I）若曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为3，且时，y=f（x）有极值，求函数f（x）的解析式；

（II）在（I）的条件下，求函数f（x）在[-4，1]上的最大值和最小值；

（III）若关于x的方程f’（x）=0的两个实数根为α、β，且1＜α＜β＜2试问：是否存在正整数n0，使得？说明理由．

正确答案

解：f‘（x）=3x2+2ax+b（2分）

（I）由题意，得

所以，f（x）=x3+2x2-4x+5（4分）

（II）由（I）知，f'（x）=3x2+4x-4=（x+2）（3x-2），

令f'（x）=0，得

∴f（x）在[-4，1]上的最大值为13，最小值为-11．（10分）

（III）∵f'（x）=3（x-α）（x-β），∴f'（1）＞0，f'（2）＞0

f'（1）⋅f'（2）=9（1-α）（1-β）（2-α）（2-β）

=9（α-1）（β-1）（2-α）（2-β）=9（α-1）（2-α）（β-1）（2-β）

∴或，所以存在n1=1或2，使．

解析

解：f‘（x）=3x2+2ax+b（2分）

（I）由题意，得

所以，f（x）=x3+2x2-4x+5（4分）

（II）由（I）知，f'（x）=3x2+4x-4=（x+2）（3x-2），

令f'（x）=0，得

∴f（x）在[-4，1]上的最大值为13，最小值为-11．（10分）

（III）∵f'（x）=3（x-α）（x-β），∴f'（1）＞0，f'（2）＞0

f'（1）⋅f'（2）=9（1-α）（1-β）（2-α）（2-β）

=9（α-1）（β-1）（2-α）（2-β）=9（α-1）（2-α）（β-1）（2-β）

∴或，所以存在n1=1或2，使．

题型：简答题

简答题

已知函数在处取到极值

（Ⅰ）当c=e时，方程恰有三个实根，求实数k的取值范围；

（Ⅱ）若函数y=f（x）的图象上存在两点A，B使得（O为坐标原点），且线段AB的中点在y轴上，求实数c的取值范围．

正确答案

解：（I）当x＜1时，f′（x）=-3x2+2ax+b．

由极值点的必要条件可知是方程f′（x）=0的两根，

则0+=，0×=-，解得a=1，b=0．

∴当c=e时，…4分．

当x≥1时，f′（x）=＞0，此时函数在[1，+∞）上是增函数，如图，又当x=时，f（x）取得极大值，

由图象知当k∈（0，）时，函数y=k与y=f（x）有3个不同的交点，

即方程有3个实根．

故实数k的取值范围为（0，）…8分．

（II）由（I）知，f（x）=，

根据条件得A，B的横坐标互为相反数，不妨设A（-t，t3+t2），B（t，f（t）），（t＞0）．

若t＜1，则f（t）=-t3+t2，

由，即-t2+（t3+t2）（-t3+t2）=0，此时t=0，不合题意，舍去；

若t≥1，则f（t）=c（et-1-1）．

由于AB的中点在y轴上，且∠AOB是直角，所以B点不可能在x轴上，即t≠1．

同理由，即-t2+（t3+t2）•c（et-1-1）=0，

∴c=…12分．

由于函数g（t）=（t＞1）的值域是（0，+∞），

∴实数c的取值范围是（0，+∞）…14分．

解析

解：（I）当x＜1时，f′（x）=-3x2+2ax+b．

由极值点的必要条件可知是方程f′（x）=0的两根，

则0+=，0×=-，解得a=1，b=0．

∴当c=e时，…4分．

当x≥1时，f′（x）=＞0，此时函数在[1，+∞）上是增函数，如图，又当x=时，f（x）取得极大值，

由图象知当k∈（0，）时，函数y=k与y=f（x）有3个不同的交点，

即方程有3个实根．

故实数k的取值范围为（0，）…8分．

（II）由（I）知，f（x）=，

根据条件得A，B的横坐标互为相反数，不妨设A（-t，t3+t2），B（t，f（t）），（t＞0）．

若t＜1，则f（t）=-t3+t2，

由，即-t2+（t3+t2）（-t3+t2）=0，此时t=0，不合题意，舍去；

若t≥1，则f（t）=c（et-1-1）．

由于AB的中点在y轴上，且∠AOB是直角，所以B点不可能在x轴上，即t≠1．

同理由，即-t2+（t3+t2）•c（et-1-1）=0，

∴c=…12分．

由于函数g（t）=（t＞1）的值域是（0，+∞），

∴实数c的取值范围是（0，+∞）…14分．

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