热门试卷

解：（Ⅰ）f‘（x）=3x2-2ax+3，因为f'（3）=0，即27-6a+3=0，所以a=5（4分）

（Ⅱ） 由f（x）=x3-5x2+3x，f'（x）=3x2-10x+3，得切点P（1，-1），切线l的斜率是k=-4，于是l的方程是y-（-1）=-4（x-1）即4x+y-3=0（8分）

（Ⅲ）令f'（x）=0，x∈[1，5]，解得x=3（9分）

当x变化时，f'（x）、f（x）的变化情况如下表

因此，当x=3时，f（x）在区间[1，5]上取得最小值f（3）=-9；

当x=5时，f（x）在区间[1，5]上取得最大值f（5）=15（14分）

解：依题意有f（1）=-2，f′（1）=0，而f′（1）=3x2+2ax+b，

故解得

从而f′（x）=3x2+2cx-（2c+3）=（3x+2c+3）（x-1）．

令f′（x）=0，得x=1或．

由于f（x）在x=1处取得极值，故，即c≠-3．

若，即c＞-3，

则当时，f′（x）＞0；

当时，f′（x）＜0；

当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0；

从而f（x）的单调增区间为；单调减区间为

若，即c＜-3，

同上可得，f（x）的单调增区间为；单调减区间为

解：由于f（x）=px3+qx2+2在x=2处取得极小值-2．则f（2）=-2，f′（2）=0，

则，解得，

故f（x）=x3-3x2+2，

（1）由于T（x）=f（x）+m，则T′（x）=f′（x）=3x（x-2）

令T′（x）＞0，解得x＜0或x＞2，令T′（x）＜0，解得0＜x＜2，

则得函数极大值为T（0）=2+m，极小值为T（2）=-2+m，

由于T（x）有三个零点，则，得m∈（-2，2）；

（2）假设存在这样的实数k，

显然g（x）=x2-2x+k，对称轴x=1，

当a＜b≤1时，g（x）递减，

由①-②得a+b=1，满足范围，且分别以b=1-a和a=1-b代入①、②得：

，即k=-x2+x+1在[1，+∞）上有两解，可得

当a≤1＜b时，显然gmin（x）=g（1）=k-1=a，

又，所以

得b2=a2-2a+k=a2-a+1，又1＜b≤2-a，所以a∈[-1，0），

所以k∈[0，1]

当1≤a＜b时，显然不符合a+b=2，舍；

综上：