热门试卷

解：（1）f′（x）=x+a+，

∵在x=2处取得极值，

∴f′（2）=2+a+1=0，

∴a=-3，

∴f′（x）=x-3+=，

当x∈（0，1）和（2，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）递增，

当x∈（1，2）时，f′（x）＜0，f（x）递减；

（2）由（1）可知：f（1）=是函数f（x）的极大值；f（2）=ln4-4是函数f（x）的极小值，

∵方程f（x）=m有三个实数x1，x2，x3（x1＜x2＜x3）；

∴函数y=f（x）与直线y=m有三个交点，

画出函数y=f（x）与y=m的图象，如图所示：

由图可知：ln4-4＜m＜；则＜x1＜1；2＜x3＜

∴x3-x1＜-=2．

（Ⅰ）解：求导函数可得，

由曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=3x-3，可得得，

即，∴．

此时f（x）=ax2-ax+（3-a）lnx，；

由f（x）无极值点且f‘（x）存在零点，得a2-8a（3-a）=0（a＞0）

解得，于是，．…（7分）

（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，要使函数f（x）有两个极值点，只要方程2ax2-ax+3-a=0有两个不等正根，

那么实数a应满足 ，解得，

设两正根为x1，x2，且x1＜x2，可知当x=x2时，有极小值f（x2）．

其中这里，由于对称轴为，所以，且，得

记g（x）=x2-x-lnx，，有对恒成立，

又g（1）=0，故对恒有g（x）＞g（1），即g（x）＞0．

所以有=

而对于恒成立，

即f（x2）在上单调递增，故．…（15分）

解：（1）由题意得 M（1，4），f′（x）=3x2+2ax+b，

即有解得，a=2，b=-4，c=5

则f（x）=x3+2x2-4x+5；

（2）f′（x）=3x2+4x-4，

令f′（x）=0得，

当x＞或x＜-2时，f′（x）＞0，f（x）递增，

当-2＜x＜时，f′（x）＜0，f（x）递减，

则x=-2时，f（x）取得极大值，且为-8+8+8+5=13，

当x=时，f（x）取得极小值，且为-+5=．