函数的极值与导数的关系
共7619题

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题型：简答题

简答题

已知函数f（x）=ax2-lnx，g（x）=（1-2a）x，a∈R．

（1）若f（x）有极小值，求a的值；

（2）若a＞0，且不等式ln（x+）-x＜-g（x）恒成立，求实数a的取值范围；

（3）若a＞0，记函数φ（x）=f（x）+g（x）的图象为曲线C，设点A（x1，y1），B（x2，y2）是曲线C上不同的两点（x1＜x2），且直线AB的斜率为k，求证：φ′（）＞k．

正确答案

解：（1）由题意，函数f（x）=ax2-lnx的定义域为（0，+∞）；

f′（x）=2ax-=；

①当a≤0时，f′（x）＜0，故f（x）没有极值；

②当a＞0时，f′（x）先负后正，

故f（x）在（0，）上是减函数，在（，+∞）上是增函数，

故f（）=a•-ln=；故=1；

故a=；

（2）若a＞0，且不等式ln（x+）-x＜-g（x）恒成立，

即为ln（x+）-2ax＜0，

令h（x）=ln（x+）-2ax，h′（x）=-2a=，

由于-＞-，即有当x＞-，h′（x）＜0，h（x）递减，

当-＜x＜-，h′（x）＞0，h（x）递增．

则h（x）在x=-处取得最大值，且为1+ln，

即有1+ln＜0，

解得a＞；

（3）∵φ（x）=f（x）+g（x）=ax2-lnx+（1-2a）x，

φ′（x）=2ax-+（1-2a），

∴φ′（）=a•-+1-2a，

由题意得，k==

=a（x1+x2）--2a+1，

则φ′（）-k=a•-+1-2a-a（x1+x2）++2a-1

=-+，

注意到a＞0，＞0，

故欲证φ′（）＞k，

只须证明＞，

令=t∈（0，1），m（t）=lnt-，

则m′（t）=-=＞0

故m（t）在（0，1）上单调递增．

即lnt＜，

即ln＜．

故φ′（）＞k．

解析

解：（1）由题意，函数f（x）=ax2-lnx的定义域为（0，+∞）；

f′（x）=2ax-=；

①当a≤0时，f′（x）＜0，故f（x）没有极值；

②当a＞0时，f′（x）先负后正，

故f（x）在（0，）上是减函数，在（，+∞）上是增函数，

故f（）=a•-ln=；故=1；

故a=；

（2）若a＞0，且不等式ln（x+）-x＜-g（x）恒成立，

即为ln（x+）-2ax＜0，

令h（x）=ln（x+）-2ax，h′（x）=-2a=，

由于-＞-，即有当x＞-，h′（x）＜0，h（x）递减，

当-＜x＜-，h′（x）＞0，h（x）递增．

则h（x）在x=-处取得最大值，且为1+ln，

即有1+ln＜0，

解得a＞；

（3）∵φ（x）=f（x）+g（x）=ax2-lnx+（1-2a）x，

φ′（x）=2ax-+（1-2a），

∴φ′（）=a•-+1-2a，

由题意得，k==

=a（x1+x2）--2a+1，

则φ′（）-k=a•-+1-2a-a（x1+x2）++2a-1

=-+，

注意到a＞0，＞0，

故欲证φ′（）＞k，

只须证明＞，

令=t∈（0，1），m（t）=lnt-，

则m′（t）=-=＞0

故m（t）在（0，1）上单调递增．

即lnt＜，

即ln＜．

故φ′（）＞k．

题型：单选题

单选题

已知函数f（x）=x3+|3x-a|-2在（0，2）上恰有两个零点，则实数a的取值范围为（　　）

A（0，2）

B（0，4）

C（0，6）

D（2，4）

正确答案

解析

解：函数f（x）=x3+|3x-a|-2=

当时，f′（x）=3x2+3在（0，2）上恒为正，不满足题意；

当时，f′（x）=3x2-3 （x∈（0，2）），

令3x2-3＞0，可得x＜-1或x＞1

∵函数f（x）=x3+|3x-a|-2在（0，2）上恰有两个零点，

∴f（2）=23-3×2+a-2=a＞0，f（0）=03+a-2=a-2＞0，f（1）=13-3×1+a-2=a-4＜0，

∴2＜a＜4

综上可知实数a的取值范围为（2，4）

故答案为：D．

题型：填空题

填空题

已知函数f（x）=+x3-x2+2ax在x=1处取得极值，且函数g（x）=+x3-x2-ax在区间（a-6，2a-3）上是减函数，则实数a的取值范围为______．

正确答案

（-3，1）∪（1，3）

解析

解：∵f′（x）=x3+bx2-（2+a）x+2a，

∴f′（1）=1+b-（2+a）+2a=0，

∴b=1-a，

∴g′（x）=x3+（1-a）x2-（a-1）x-a，

∴，

解得：-3＜a＜1，或1＜a＜3，

故答案为：（-3，1）∪（1，3）．

题型：填空题

填空题

设函数f（x）=x3+bx2+cx+d（a＞0），且方程f′（x）-9x=0的两个根分别为1和4，若f（x）在（-∞，+∞）内无极值点，则实数a的取值范围是______．

正确答案

1≤a≤9

解析

解：∵f（x）=x3+bx2+cx+d（a＞0）

∴f′（x）=ax2+2bx+c，

∵方程f′（x）-9x=0的两个根分别为1和4，

∴ax2+（2b-9）x+c=0的两个根分别为1和4，

即

∴

又∵函数f（x）=x3+bx2+cx+d（a＞0）在R上无极值

∴f′（x）=ax2+2bx+c≥0恒成立

∴4b2-4ac≤0，即b2-ac≤0

∴，整理得a2-10a+9≤0

解得：1≤a≤9，

则实数a的取值范围1≤a≤9．

故答案为：1≤a≤9．

题型：简答题

简答题

设函数f（x）=lnx+x2-2ax+a2，a属于R．

（1）讨论函数f（x）极值点的情况；

（2）若函数f（x）在[，2]上不是单调函数．试求实数a的取值范围．

正确答案

解：（1）f′（x）=（x＞0），

设g（x）=2x2-2ax+1，

①当a≤0时，g（x）＞0，∴f′（x）＞0，

此时函数f（x）单调递增，没有极值点，舍去．

②a＞0，（i）△=4a2-8≤0，

即0＜a≤时，f′（x）＞0恒成立，

此时函数f（x）单调递增，没有极值点，舍去．

（ii））△=4a2-8＞0，即a＞时，

由g（x）＜0，解得＜x＜，

f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减；

由g（x）＞0，解得0＜x＜，或x＞，

f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增．

∴x=是函数f（x）的极大值点；

x=是函数f（x）的极小值点．

综上可得：当a≤时，函数f（x）没有极值点；

当a＞时：x= 是函数f（x）的极大值点；

x=是函数f（x）的极小值点．

（2）∵f（x）在[，2]上不是单调函数，

∴函数在区间[，2]上有极值点，

∴＜＜2或＜＜2，

解得：＜a＜，

∴a∈（，）．

解析

解：（1）f′（x）=（x＞0），

设g（x）=2x2-2ax+1，

①当a≤0时，g（x）＞0，∴f′（x）＞0，

此时函数f（x）单调递增，没有极值点，舍去．

②a＞0，（i）△=4a2-8≤0，

即0＜a≤时，f′（x）＞0恒成立，

此时函数f（x）单调递增，没有极值点，舍去．

（ii））△=4a2-8＞0，即a＞时，

由g（x）＜0，解得＜x＜，

f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减；

由g（x）＞0，解得0＜x＜，或x＞，

f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增．

∴x=是函数f（x）的极大值点；

x=是函数f（x）的极小值点．

综上可得：当a≤时，函数f（x）没有极值点；

当a＞时：x= 是函数f（x）的极大值点；

x=是函数f（x）的极小值点．

（2）∵f（x）在[，2]上不是单调函数，

∴函数在区间[，2]上有极值点，

∴＜＜2或＜＜2，

解得：＜a＜，

∴a∈（，）．

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