- 函数的极值与导数的关系
- 共7619题
定义在（0，+∞）上的函数f（x）=x2-alnx，g（x）=x-a
（Ⅰ）确定函数g（x）的单调性．
（Ⅱ）证明：当1＜x＜e2时，恒有
正确答案
（Ⅰ）解：函数f（x）=x2-alnx，则
∵f（x）在x=1处取极值
∴f′（1）=0
∴2-a=0
∴a=2．…（3分）
∴g（x）=x-2
由
所以g（x）在（1，+∞）上是增函数，在（0，1）上是减函数．…（6分）
（Ⅱ）证明：当1＜x＜e2时，0＜lnx＜2，要证
设h（x）=
∴当1＜x＜e2时，h′（x）＞0，
所以h（x）在区间（1，e2）上为增函数．…（12分）
从而当1＜x＜e2时，h（x）＞h（1）=0，即
解析
（Ⅰ）解：函数f（x）=x2-alnx，则
∵f（x）在x=1处取极值
∴f′（1）=0
∴2-a=0
∴a=2．…（3分）
∴g（x）=x-2
由
所以g（x）在（1，+∞）上是增函数，在（0，1）上是减函数．…（6分）
（Ⅱ）证明：当1＜x＜e2时，0＜lnx＜2，要证
设h（x）=
∴当1＜x＜e2时，h′（x）＞0，
所以h（x）在区间（1，e2）上为增函数．…（12分）
从而当1＜x＜e2时，h（x）＞h（1）=0，即
已知f（x）=ax-x3（x∈R）在区间
（Ⅰ） 求a的取值范围；
（Ⅱ） 若f（x）的极小值为-2，求a的值．
正确答案
解：（Ⅰ）f‘（x）=a-3x2，（1分）
依题意，当
∴
（Ⅱ）令f'（x）=0，即a-3x2=0，得
当
所以，当
当
所以，当
于是，
解析
解：（Ⅰ）f‘（x）=a-3x2，（1分）
依题意，当
∴
（Ⅱ）令f'（x）=0，即a-3x2=0，得
当
所以，当
当
所以，当
于是，
已知函数f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10，求实数a，b的值；并判断f（1）=10是极大值还是极小值．
正确答案
解：∵函数f（x）=x3+ax2+bx+a2
∴f‘（x）=3x2+2ax+b，
又∵函数f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10，
∴
当a=4，b=-11时，
∴f（x）在x=1处取得极小值f（1）=10；
当a=-3，b=3时，f'（x）=3（x-1）2≥0，f（x）在R上单增，无极值．
∴a=4，b=-11；且f（1）=10是极小值．
解析
解：∵函数f（x）=x3+ax2+bx+a2
∴f‘（x）=3x2+2ax+b，
又∵函数f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10，
∴
当a=4，b=-11时，
∴f（x）在x=1处取得极小值f（1）=10；
当a=-3，b=3时，f'（x）=3（x-1）2≥0，f（x）在R上单增，无极值．
∴a=4，b=-11；且f（1）=10是极小值．
若函数f（x）=ax3-bx+4在x=2处取得极值-
（1）求a，b的值
（2）求f（x）的单调区间．
正确答案
解（1）f′（x）=3ax2-b
由题意； 
（2）
令f′（x）=0，得x=2或x=-2
f（x）的单调递增区间为：（-∞，-2），（2，+∞）；
f（x）的单调递减区间为（-2，2）．
解析
解（1）f′（x）=3ax2-b
由题意；
（2）
令f′（x）=0，得x=2或x=-2
f（x）的单调递增区间为：（-∞，-2），（2，+∞）；
f（x）的单调递减区间为（-2，2）．
设函数f（x）=ex-ax+a（a∈R），其图象与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，且x1＜x2．
（1）求a的取值范围；
（2）证明：f′（
（3）设g（x）=3ax2-ax+2+a，若f（x）+e-x≥g（x）对x∈R恒成立，求a取值范围．
正确答案
（1）解：f‘（x）=ex-a．
若a≤0，则f'（x）＞0，则函数f（x）是单调增函数，这与题设矛盾．
∴a＞0，令f'（x）=0，则x=lna．
当x＜lna时，f'（x）＜0，f（x）是单调减函数；x＞lna时，f'（x）＞0，f（x）是单调增函数；
于是当x=lna时，f（x）取得极小值．
∵函数f（x）=ex-ax+a（a∈R）的图象与x轴交于两点A（x1，0），B（x2，0）（x1＜x2），
∴f（lna）=a（2-lna）＜0，
即a＞e2．此时，存在1＜lna，f（1）=e＞0；
存在3lna＞lna，f（3lna）=a3-3alna+a＞a3-3a2+a＞0，
又f（x）在R上连续，故a＞e2为所求取值范围．…（4分）
（2）证明：∵
记
设g（s）=2s-（es-e-s），则g′（s）=2-（es+e-s）＜0，∴g（s）是单调减函数，
则有g（s）＜g（0）=0，而
又f'（x）=ex-a是单调增函数，且
∴
（3）解：设F（x）=f（x）+e-x-g（x）=ex+e-x-3ax2-2
∵F（-x）=F（x），
∴F（x）是偶函数
∴f（x）+e-x≥g（x）对x∈R恒成立⇔F（x）≥0对x∈[0，+∞）恒成立．
F′（x）=ex-e-x-6ax，设h（x）=（F′（x））′=ex+e-x-6a
∴h′（x）=ex+e-x=
∴h（x）在x∈[0，+∞）上单调递增，h（x）≥h（0）=2-6a
①当
∴F′（x）≥F′（0）=0，
∴F（x）在x∈[0，+∞）上单调递增
∴F（x）≥F（0）=0对x∈[0，+∞）恒成立
②当
∵h（x）在x∈[0，+∞）上单调递增，又
故∃x0∈（0，+∞），使h（x0）=0
当x∈（0，x0）时，h（x）＜0⇒F′（x）在（0，x0）单调递减⇒F′（x）＜F′（x）=0
当x∈（0，x0）时，F（x）单调递减，此时，F（x）≥F（0）=0对x∈[0，+∞）不恒成立
综上，当
解析
（1）解：f‘（x）=ex-a．
若a≤0，则f'（x）＞0，则函数f（x）是单调增函数，这与题设矛盾．
∴a＞0，令f'（x）=0，则x=lna．
当x＜lna时，f'（x）＜0，f（x）是单调减函数；x＞lna时，f'（x）＞0，f（x）是单调增函数；
于是当x=lna时，f（x）取得极小值．
∵函数f（x）=ex-ax+a（a∈R）的图象与x轴交于两点A（x1，0），B（x2，0）（x1＜x2），
∴f（lna）=a（2-lna）＜0，
即a＞e2．此时，存在1＜lna，f（1）=e＞0；
存在3lna＞lna，f（3lna）=a3-3alna+a＞a3-3a2+a＞0，
又f（x）在R上连续，故a＞e2为所求取值范围．…（4分）
（2）证明：∵
记
设g（s）=2s-（es-e-s），则g′（s）=2-（es+e-s）＜0，∴g（s）是单调减函数，
则有g（s）＜g（0）=0，而
又f'（x）=ex-a是单调增函数，且
∴
（3）解：设F（x）=f（x）+e-x-g（x）=ex+e-x-3ax2-2
∵F（-x）=F（x），
∴F（x）是偶函数
∴f（x）+e-x≥g（x）对x∈R恒成立⇔F（x）≥0对x∈[0，+∞）恒成立．
F′（x）=ex-e-x-6ax，设h（x）=（F′（x））′=ex+e-x-6a
∴h′（x）=ex+e-x=
∴h（x）在x∈[0，+∞）上单调递增，h（x）≥h（0）=2-6a
①当
∴F′（x）≥F′（0）=0，
∴F（x）在x∈[0，+∞）上单调递增
∴F（x）≥F（0）=0对x∈[0，+∞）恒成立
②当
∵h（x）在x∈[0，+∞）上单调递增，又
故∃x0∈（0，+∞），使h（x0）=0
当x∈（0，x0）时，h（x）＜0⇒F′（x）在（0，x0）单调递减⇒F′（x）＜F′（x）=0
当x∈（0，x0）时，F（x）单调递减，此时，F（x）≥F（0）=0对x∈[0，+∞）不恒成立
综上，当
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