热门试卷

解：（1）∵，∴f′（x）=x-ax2=-ax（x-）；

∴当f′（x）=0时，解得x=0或x=；

又a＞0，∴当x∈（-∞，0）时，f′（x）＜0，f（x）是减函数；

当x∈（0，）时，f′（x）＞0，f（x）是增函数；

当x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）是减函数；

∴f（x）的极小值是f（0）=0，f（x）的极大值是f（）=；

（2）∵a=e，∴g（x）=x2-ex3+ex（x-1），∴g′（x）=x（ex-ex+1）；

（i）设h（x）=（ex-ex+1），则h′（x）=ex-e，

当x∈（-∞，1）时，h′（x）＜0，h（x）是减函数；

x∈（1，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）是增函数；

∴h（x）≥h（1）=1＞0；

∴在（0，+∞）上，g′（x）＞0，在（-∞，0）上，g′（x）＜0；

∴g（x）的单调增区间是（0，+∞），单调减区间是（-∞，0）；

（ii）x＞0时，g′（x）=x（ex-ex+1）≥1+lnx⇔ex-ex+1≥；

由（i）知，h（x）=ex-ex+1≥1，∴1≥，∴1+lnx-x≤0；

设φ（x）=1+lnx-x（x＞0），则φ′（x）=；

在区间（0，1）上，φ′（x）＞0，φ（x）是增函数，在区间（1，+∞）上，φ′（x）＜0，φ（x）是减函数；

∴φ（x）≤φ（1）=0，即1+lnx-x≤0，≤1，

∴ex-ex+1≥1≥，即g′（x）≥1+lnx恒成立；

解：（Ⅰ）函数f（x）定义域为（0，+∞）…（2分）

依题意得，，解得，

故所求a，b的值为…（5分）

（Ⅱ）在上存在x0，使不等式f（x0）-c≤0成立，只需c≥[f（x0）]min

由（Ⅰ）知

当时，f′（x）＜0，故函数f（x）在上单调递减，

当时，f′（x）＞0，故函数f（x）在上单调递增，

当x∈[1，2]时，f′（x）＜0，故函数f（x）在上单调递减…（7分）

∴是f（x）在上的极小值，且函数f（x）的最小值必是两者中较小的…（8分）

而，∵e3≈20.08＞16，∴…（9分）∴

所以，实数c的最小值为．…（10分）