- 函数的极值与导数的关系
- 共7619题
已知函数f（x）=x-（1+a）lnx在x=1时，存在极值．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）证明：当x＞1时，
正确答案
解：（I）对函数求导数，得f‘（x）=1-
∵在x=1时，函数存在极值．
∴f'（1）=1-
（II）当x＞1时，，
设F（x）=（x+1）lnx-2x+2，得F'（x）=
再设G（x）=
∵x＞1，∴G'（x）=
因此G（x）＞G（1）=0，即F'（x）＞0区间（1，+∞）上恒成立
∴F（x）=（x+1）lnx-2x+2是（1，+∞）上的增函数，得F（x）＞F（1）=0
因此，不等式（*）在区间（1，+∞）上恒成立，即当x＞1时，
解析
解：（I）对函数求导数，得f‘（x）=1-
∵在x=1时，函数存在极值．
∴f'（1）=1-
（II）当x＞1时，，
设F（x）=（x+1）lnx-2x+2，得F'（x）=
再设G（x）=
∵x＞1，∴G'（x）=
因此G（x）＞G（1）=0，即F'（x）＞0区间（1，+∞）上恒成立
∴F（x）=（x+1）lnx-2x+2是（1，+∞）上的增函数，得F（x）＞F（1）=0
因此，不等式（*）在区间（1，+∞）上恒成立，即当x＞1时，
已知函数f（x）=x3-x2+bx+c，且f（x）在x=1处取得极值
（1）求b的值；
（2）若当x∈[-1，2]时，f（x）＜c2恒成立，求c的取值范围；
（3）对任意的x1，x2∈[-1，2]，|f（x1）-f（x2）|≤0是否恒成立？如果成立，给出证明；如果不成立，请说明理由．
正确答案
解：（1）f′（x）=3x2-2x+b，
则由f（x）在x=1处取得极值可得，
f′（1）=3•12-2•1+b=0，
解得，b=-1；
（2）f′（x）=3x2-2x-1=（x-1）（3x+1），
则f（x）在（-∞，-
在（1，+∞）上是增函数，
在（-
又由f（-
则当x∈[-1，2]时，f（x）＜c2恒成立可化为
2+c＜c2，
则c＞2或c＜-1；
（3）∵f（x1）-f（x2）不可能恒等于0，
∴任意的x1，x2∈[-1，2]，|f（x1）-f（x2）|≤0不可能恒成立．
解析
解：（1）f′（x）=3x2-2x+b，
则由f（x）在x=1处取得极值可得，
f′（1）=3•12-2•1+b=0，
解得，b=-1；
（2）f′（x）=3x2-2x-1=（x-1）（3x+1），
则f（x）在（-∞，-
在（1，+∞）上是增函数，
在（-
又由f（-
则当x∈[-1，2]时，f（x）＜c2恒成立可化为
2+c＜c2，
则c＞2或c＜-1；
（3）∵f（x1）-f（x2）不可能恒等于0，
∴任意的x1，x2∈[-1，2]，|f（x1）-f（x2）|≤0不可能恒成立．
已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，当x=-1时，取得极大值7，当x=3时，取得极小值，求这个极小值及f（x）的解析式．
正确答案
解：f′（x）=3x2+2ax+b．
∵当x=-1时，取得极大值7，当x=3时，取得极小值，
∴
∴f′（x）=3x2-6x-9=3（x+1）（x-3），经验证满足题意．
∴f（x）=x3-3x2-9x+2，
∴f（3）=33-3×32-9×3+2=-25．
即当x=3时，取得极小值f（3）=-25．
解析
解：f′（x）=3x2+2ax+b．
∵当x=-1时，取得极大值7，当x=3时，取得极小值，
∴
∴f′（x）=3x2-6x-9=3（x+1）（x-3），经验证满足题意．
∴f（x）=x3-3x2-9x+2，
∴f（3）=33-3×32-9×3+2=-25．
即当x=3时，取得极小值f（3）=-25．
已知函数f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1有极大值和极小值，则a的取值范围是______．
正确答案
（-∞，-3）∪（6，+∞）
解析
解：函数f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1，所以函数f′（x）=3x2+2ax+（a+6），
因为函数有极大值和极小值，所以导函数有两个不相等的实数根，即△＞0，
（2a）2-4×3×（a+6）＞0，解得：a∈（-∞，-3）∪（6，+∞）．
故答案为：（-∞，-3）∪（6，+∞）．
已知函数f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是（ ）
正确答案
解析
解：由于f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1，
有f′（x）=3x2+2ax+（a+6）．
若f（x）有极大值和极小值，
则△=4a2-12（a+6）＞0，
从而有a＞6或a＜-3，
故选C．
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