热门试卷

解：（1）g（x）=f（x）-x=lnx-x（x＞0），则g′（x）=-1=．

当x∈（0，1）时，g′（x）＞0，则g（x）在（0，1）上单调递增；

当x∈（1，+∞）时，g′（x）＜0，则g（x）在（1，+∞）上单调递减，

所以，g（x）在x=1处取得最大值，且最大值为-1．     …（3分）

（2）由条件得在x＞0上恒成立．

设h（x）=，则h′（x）=．

当x∈（0，e）时，h′（x）＞0；当x∈（e，+∞）时，h′（x）＜0，

所以，h（x）≤．

要使f（x）≤ax恒成立，必须a≥．

另一方面，当x＞0时，x+≥2，要使ax≤x2+1恒成立，

必须a≤2．

所以，满足条件的a的取值范围是[，2]．            …（7分）

解：（1）p=1，f‘（1）=1-1=0，f（1）=0-1+1=0，∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为：y=0（2分）

（2）

当p≤0时，f'（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上递增，函数f（x）无极值；　　　（4分）

当p＞0时，上f'（x）＞0，f（x）单调递增；上f'（x）＜0，f（x）单调递减

∴f（x）的极大值为，f（x）无极小值　　　　　（6分）

（3）记g（x）=f（x）-p2x2=lnx-px+1-p2x2（x＞0）

∴（7分）

当p=0时，g（x）=lnx+1，g（e）＞0不符合条件　　　　　　（8分）

当p＞0时，px+1＞0，上g'（x）＞0，g（x）单调递增；上g'（x）＜0，g（x）单调递减

∴g（x）的最大值为，∴（10分）

当p＜0时，2px-1＜0，上g'（x）＞0，g（x）单调递增；上g'（x）＜0，g（x）单调递减

∴g（x）的最大值为，∴p≤-e

故p的取值范围是（12分）

解：（Ⅰ）g′（x）==，

当x＞1时，g′（x）＜0，g（x）在（1，+∞）递增；当x＜1时，g′（x）＞0，g（x）在（-∞，1）递减．

则有g（x）的极大值为g（1）=1；

（Ⅱ）当b=1，a＞0时，f（x）=alnx+x-1，x＞0，

f′（x）=+1=＞0在[3，4]恒成立，f（x）在[3，4]递增；

由h（x）==，h′（x）=＞0在[3，4]恒成立，h（x）在[3，4]递增．

设x1＜x2，原不等式等价为f（x2）-f（x1）＜h（x2）-h（x1），

即f（x2）-h（x2）＜f（x1）-h（x1），F（x）=f（x）-h（x），F（x）在[3，4]递减，

又F（x）=alnx+x-1-，F′（x）=+1-≤0在[3，4]恒成立，

故h（x）在[3，4]递增，a≤•-x，

令G（x）=•-x，3≤x≤4，

G′（x）=•-1=ex-1（-+1）-1

=ex-1[（-）2+]-1＞e2-1＞0，G（x）在[3，4]递增，

即有a≤e2-3，即amax=e2-3；

（Ⅲ）g′（x）=e1-x-xe1-x=（1-x）e1-x，

当x∈（0，1）时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增；

当x∈（1，e]时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减．

又因为g（0）=0，g（1）=1，g（e）=e2-e＞0，

所以，函数g（x）在（0，e]上的值域为（0，1]．

由题意，当f（x）取（0，1]的每一个值时，

在区间（0，e]上存在t1，t2（t1≠t2）与该值对应．

a=-2时，f（x）=b（x-1）-2lnx，f′（x）=b-=，

当b=0时，f′（x）=-＜0，f（x）单调递减，不合题意，

当b≠0时，x=时，f′（x）=0，

由题意，f（x）在区间（0，e]上不单调，所以，0＜＜e，

当x∈（0，]时，f‘（x）＜0，当（，+∞）时，f'（x）＞0

所以，当x∈（0，e]时，f（x）min=f（）=2-a-2ln，

由题意，只需满足以下三个条件：①f（x）min=f（）=2-b-2ln＜0，

②f（e）=b（e-1）-2≥1，③∃x0∈（0，）使f（x0）＞1．

∵f（ ）≤f（1）=0，所以①成立．由②f（x）=b（x-1）-2lnx→+∞，所以③满足，

所以当b满足即b≥时，符合题意，

故b的取值范围为[，+∞）．