- 函数的极值与导数的关系
- 共7619题
若f（x）=x3+3ax2+3（a+2）x+1有极值，则a的取值范围是（ ）
正确答案
解析
解：f′（x）=3x2+6ax+3（a+2），
因为f（x）有极值，所以f′（x）=3x2+6ax+3（a+2）=0有两不等实根，
所以△=36a2-4×3×3（a+2）＞0，化简得，a2-a-2＞0，解得a＜-1或a＞2，
故选B．
设x1，x2是函数
（1）用a表示b2，并求出a的取值范围．
（2）证明：
（3）若函数h（x）=f′（x）-2a（x-x1），证明：当x1＜x＜2且x1＜0时，|h（x）|≤4a．
正确答案
解：（1）∵f （x ）=
∴f′（x ）=a x2+bx-a2 …（1分）
∵x1，x2是f （x ）的两个极值点，
∴x1，x2是方程a x2+bx-a2=0的两个实根（2分）
∵a＞0，∴x1x2=-a＜0，x1+x2=
由条件|x1|+|x2|=2平方，可得x12+x22+2|x1x2|=4，
即（x1+x2）2-2x1x2+2|x1x2|=4，
∴
∴b2=4a2-4a3 …（4分）
∵b2≥0，∴4a2-4a3≥0，
∴0＜a≤1…（5分）
（2）∵b2=4a2-4a3 （0＜a≤1），令g（a）=4a2-4a3，∴g‘（a ）=8 a-12a2…（6分）
由g'（a）＞0，得0＜a＜
∴g（a）在（0，
∴g（a）在（0，1）上的最大值是g（
∴g（a）≤
∴b2≤
∴|b|≤
（3）∵x1，x2是方程a x2+bx-a2=0的两个实根，
∴f′（x）=a（x-x1）（x-x2）．
∴h（x）=a（x-x1）（x-x2）-2a（x-x1）=a（x-x1）（x-x2-2）…（11分）
∴|h（x）|=a|x-x1||x-x2-2|≤
∵x＞x1，∴x-x1＞0．
又∵x1＜0，∴x1 x2＜0，∴x2＞0．∴x2+2＞2．
又∵x＜2，∴x-x2-2＜0 …（13分）
∴|h（x ）|≤
又∵|x1|+|x2|=2，且x1＜0，x2＞0，∴x2-x1=2．
将其代入上式得|h（x ）|≤4a．…（14分）
解析
解：（1）∵f （x ）=
∴f′（x ）=a x2+bx-a2 …（1分）
∵x1，x2是f （x ）的两个极值点，
∴x1，x2是方程a x2+bx-a2=0的两个实根（2分）
∵a＞0，∴x1x2=-a＜0，x1+x2=
由条件|x1|+|x2|=2平方，可得x12+x22+2|x1x2|=4，
即（x1+x2）2-2x1x2+2|x1x2|=4，
∴
∴b2=4a2-4a3 …（4分）
∵b2≥0，∴4a2-4a3≥0，
∴0＜a≤1…（5分）
（2）∵b2=4a2-4a3 （0＜a≤1），令g（a）=4a2-4a3，∴g‘（a ）=8 a-12a2…（6分）
由g'（a）＞0，得0＜a＜
∴g（a）在（0，
∴g（a）在（0，1）上的最大值是g（
∴g（a）≤
∴b2≤
∴|b|≤
（3）∵x1，x2是方程a x2+bx-a2=0的两个实根，
∴f′（x）=a（x-x1）（x-x2）．
∴h（x）=a（x-x1）（x-x2）-2a（x-x1）=a（x-x1）（x-x2-2）…（11分）
∴|h（x）|=a|x-x1||x-x2-2|≤
∵x＞x1，∴x-x1＞0．
又∵x1＜0，∴x1 x2＜0，∴x2＞0．∴x2+2＞2．
又∵x＜2，∴x-x2-2＜0 …（13分）
∴|h（x ）|≤
又∵|x1|+|x2|=2，且x1＜0，x2＞0，∴x2-x1=2．
将其代入上式得|h（x ）|≤4a．…（14分）
已知函数f（x）=（x2+mx+n）ex，m、n∈R：
（1）若f（x）在x=0处取到极值，试讨论f（x）的单调性；
（2）若f（x）无极值，且
正确答案
解：（Ⅰ）f‘（x）=（2x+m）•ex+（x2+mx+n）•ex=[x2+（m+2）x+m+n]ex，
由题意得f'（0）=0，得m+n=0，即f'（x）=[x2+（m+2）x]ex，
当m＜-2时，x∈（-∞，0），（-m-2，+∞）时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增；
当x∈（0，-m-2）时，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减；
当m＞-2时，函数f（x）在（-∞，-m-2），（0，+∞）单调递增；在（-m-2，0）上单调递减，
当m=-2时，不合题意．
（2）由题意△=（m+2）2-4（m+n）≤0，即m2-4n+4≤0，
∵
f′（0）=4，
∴m+n=4，即n=4-m，
m2≤4（4-m-1），即m2+4m-12≤0，
∴m∈[-6，2]，n∈[2，10]
∴A∪B=[-6，10]．
解析
解：（Ⅰ）f‘（x）=（2x+m）•ex+（x2+mx+n）•ex=[x2+（m+2）x+m+n]ex，
由题意得f'（0）=0，得m+n=0，即f'（x）=[x2+（m+2）x]ex，
当m＜-2时，x∈（-∞，0），（-m-2，+∞）时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增；
当x∈（0，-m-2）时，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减；
当m＞-2时，函数f（x）在（-∞，-m-2），（0，+∞）单调递增；在（-m-2，0）上单调递减，
当m=-2时，不合题意．
（2）由题意△=（m+2）2-4（m+n）≤0，即m2-4n+4≤0，
∵
f′（0）=4，
∴m+n=4，即n=4-m，
m2≤4（4-m-1），即m2+4m-12≤0，
∴m∈[-6，2]，n∈[2，10]
∴A∪B=[-6，10]．
已知函数f（x）=x3+bx2+cx的图象如图所示，则
A
B
C
D
正确答案
解析
解：由图可知，f（x）=0的三个根为0，1，2
∴f（1）=1+b+c=0，f（2）=8+4b+2c=0
解得b=-3，c=2
又由图可知，x1，x2为函数f（x）的两个极值点
∴f′（x）=3x2-6x+2=0的两个根为x1，x2，
∴x1+x2=2，x1x2=
∴
故选 C
已知函数f（x）=x2-（a+2）x+alnx其中常数a＞0
（1）当a＞2时，求函数f（x）在x∈（0，a）上的极大值和极小值；
（2）设定义在D上的函数y=h（x）在点P（x0，h（x0））处的切线方程为l：y=g（x），当x≠x0时，若
正确答案
解：（1）由函数f（x）=x2-（a+2）x+alnx（常数a＞2）可知：其定义域为（0，+∞）．
∴
令f′（x）=0，解得
∵a＞2，∴
列表如图：
由表格可知：当x=1时，函数f（x）取得极大值，且f（1）=-a-1；当x=
（2）当a=4时，函数f（x）=x2-6x+4lnx存在“类对称点”，为点P
当a=4时，f（x）=x2-6x+4lnx，∴f′（x）=2x-6
设切点P（m，f（m）），则切线的斜率为f′（m）=
则切线的方程为y-f（m）=f′（m）（x-m），
由
其中
要使（*）式恒成立，f′（x）必取得最小值．
∵[f′（x）]′=2
由表格可知：当且仅当x=
即当x=
故
解析
解：（1）由函数f（x）=x2-（a+2）x+alnx（常数a＞2）可知：其定义域为（0，+∞）．
∴
令f′（x）=0，解得
∵a＞2，∴
列表如图：
由表格可知：当x=1时，函数f（x）取得极大值，且f（1）=-a-1；当x=
（2）当a=4时，函数f（x）=x2-6x+4lnx存在“类对称点”，为点P
当a=4时，f（x）=x2-6x+4lnx，∴f′（x）=2x-6
设切点P（m，f（m）），则切线的斜率为f′（m）=
则切线的方程为y-f（m）=f′（m）（x-m），
由
其中
要使（*）式恒成立，f′（x）必取得最小值．
∵[f′（x）]′=2
由表格可知：当且仅当x=
即当x=
故
扫码查看完整答案与解析