- 函数的极值与导数的关系
- 共7619题
若函数f（x）=x3-ax2+2的一个极值点是2，则a=______，此函数在区间[-1，1]上的最大值是______．
正确答案
3
2
解析
解：（1）对函数f（x）求导得，f′（x）=3x2-2ax，
因为f（x）在x=2时取得极值，所以f‘（2）=0，
即12-4a=0，解得a=3．
（2）由（1）得 f（x）=x3-3x2+2．
∴f'（x）=3x2-6x，
令f'（x）＞0，解得x＜0或 x＞2； 令f'（x）＜0，解得0＜x＜2．
又x∈[-1，1]
所以f（x）在区间[-1，0）上单调递增，在 （0，1]内单调递减，
所以当x=0时，f（x）有最大值f（0）=2．
故答案为：3；2．
若函数f（x）=ax3-（ax）2-ax-a在x=1处取得极大值-2，则实数a的值为（ ）
正确答案
解析
解：∵f（x）=ax3-（ax）2-ax-a，
∴f′（x）=3ax2-2a2x-a，
∵f（x）=ax3-（ax）2-ax-a在x=1处取得极大值-2，
∴f′（1）=3a-2a2-a=0，
解得a=1或a=0，
当a=1时，f（x）=x3-x2-x-1，f（x）在x=1时取得极大值f（1）=13-12-1-1=-2，满足题意；
当a=0时，f（x）=0，不满足题意；
经验证只有a=1符合在x=1处取得极大值，
所以a=1．
故选B．
已知函数f（x）=
（I）当a=-4时，试判断函数f（x）在（-4，+∞）上的单调性；
（II）若函数f（x）在x=t处取到极小值，
（i）求实数t的取值集合T；
（ii）问是否存在整数m，使得m≤
正确答案
解：（I）求导函数可得
当a=-4时，
∴函数f（x）在（-4，+∞）上为增函数；
（II）（i）∵函数f（x）在x=t处取到极小值，
∴t2-at-a=0
∴a2+4a＞0
∵a＜0，∴a＜-4
由
∵函数f（x）在x=t处取到极小值
∴
∴
∵a＜-4，∴g′（a）＜0
∴g（a）在a＜-4时递减
∴t＞g（-4）=-2
∴-2＜t＜-1
∴实数t的取值集合T=（-2，-1）；
（ii）设h（t）=
∴h′（t）=t（t+2）et，
∴当-2＜t＜-1时，h′（t）＜0，∴h（t）在（-2．-1）上递减
∴
∴存在m=0，使得m≤
解析
解：（I）求导函数可得
当a=-4时，
∴函数f（x）在（-4，+∞）上为增函数；
（II）（i）∵函数f（x）在x=t处取到极小值，
∴t2-at-a=0
∴a2+4a＞0
∵a＜0，∴a＜-4
由
∵函数f（x）在x=t处取到极小值
∴
∴
∵a＜-4，∴g′（a）＜0
∴g（a）在a＜-4时递减
∴t＞g（-4）=-2
∴-2＜t＜-1
∴实数t的取值集合T=（-2，-1）；
（ii）设h（t）=
∴h′（t）=t（t+2）et，
∴当-2＜t＜-1时，h′（t）＜0，∴h（t）在（-2．-1）上递减
∴
∴存在m=0，使得m≤
已知函数f（x）=
正确答案
1＜a＜2或
解析
解：由已知f‘（x）=x2-3ax+2a2=（x-a）（x-2a）
∵函数f（x）=
∴1＜a＜2或1＜2a＜2，
∴1＜a＜2或
故答案为：1＜a＜2或
设a∈R，函数f（x）=2x3-3（a+2）x2+12ax+4，
（1）若x=3是f（x）的一个极值点，求常数a的值；
（2）若f（x）在（-∞，1）上为增函数，求a的取值范围．
正确答案
解：（1）f′（x）=6x2-6（a+2）x+12a
∵x=3是f（x）的一个极值点
∴f′（3）=0，即54-18（a+2）+12a=0
解得a=3，经检验知，a=3时，x=3是f（x）的一个极值点
∴a=3．
（2）∵f（x）在（-∞，1）上为增函数
∴f′（x）=6x2-6（a+2）x+12a≥0恒成立，x∈（-∞，1）．
即x2+（2-x）a-2x≥0恒成立，
∵x∈（-∞，1）．
∴2-x＞0
∴a≥
令g（x）=
∴a≥1．
解析
解：（1）f′（x）=6x2-6（a+2）x+12a
∵x=3是f（x）的一个极值点
∴f′（3）=0，即54-18（a+2）+12a=0
解得a=3，经检验知，a=3时，x=3是f（x）的一个极值点
∴a=3．
（2）∵f（x）在（-∞，1）上为增函数
∴f′（x）=6x2-6（a+2）x+12a≥0恒成立，x∈（-∞，1）．
即x2+（2-x）a-2x≥0恒成立，
∵x∈（-∞，1）．
∴2-x＞0
∴a≥
令g（x）=
∴a≥1．
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