热门试卷

解：（1）∵a=2时，f（x）=2x2-2x+lnx，

∴f′（x）=4x-2+，

∴f（x）在（1，f（1））处的切线斜率为k=f′（1）=3，

又f（1）=0，

∴切线方程为y-0=3（x-1），

即3x-y-3=0；

（2）∵f（x）=ax2-2x+lnx，定义域是（0，+∞），

∴f′（x）=2ax-2+=；

∵f（x）在（0，+∞）上有两个不同的极值点，

即2ax2-2x+1=0在（0，+∞）上有两个不同的实数根，

∴，解得0＜a＜；

∴a的取值范围是{a|0＜a＜}；

又∵f′（x）=；

令f′（x）=0，得2ax2-2x+1=0；

∵0＜a＜，

∴解得x1=，x2=；

∴当0＜x＜时，f′（x）＞0，f（x）是增函数；

当＜x＜时，f′（x）＜0，f（x）是减函数；

当x＞时，f′（x）＞0，f（x）是增函数；

∴f（x）的增区间是（0，），（，+∞）；减区间（，）．

解：（1）由题意f′（x）=3x2+2ax+b，

因为a=2b，所以f′（x）=3x2+4bx+b，

若f（x）在x=-1处取极值，则f′（-1）=3-4b+b=0，即b=1，

此时f′（x）=3x2+4x+1=（3x+1）（x+1），

当x＜-1时，f′（x）＞0，当-1＜x＜-时，f′（x）＜0，

所以x=-1时f（x）取得极大值，此时a=2，b=1．

（2）∵函数f（x）=x3+ax2+bx在区间（-1，2），（2，3）内分别有一个极值点，

∴f′（x）=3x2+2ax+b=0在（-1，2），（2，3）内分别有一个实根，

∴⇒，

作出可行域如下图阴影三角形所示（不含边界）：

当直线w=a-4b经过点M、N时w分别取得最大值、最小值，

由得M（-3，-9），由得N（-，18），

所以w的最大值为：-3-4×（-9）=33；最小值为：--4×18=-．

所以w=a-4b的取值范围为（-，33）．