热门试卷

解：（Ⅰ）∵a=1，可得g（x）=x2-3x+lnx，（x＞0）

∴g′（x）=2x-3+==，

令g′（x）=0，x1=，x2=1，

  g′（x）＞0，即x＞1或x＜，g（x）为增函数，

g′（x）＜0，即＜x＜1，g（x）为减函数，

g（x）在x=出取极大值，g（x）极大值=g（）=--ln2，

g（x）在x=1出取极小值，g（x）极小值=g（1）=-2，

（Ⅱ）g′（x）=2x-（2a+1）+==

当a≤1时，x∈[1，e]，g′（x）≥0，g（x）单调递增，g（x）min=g（1）=-2a，

当1＜a＜e时，x∈[1，a]时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，x∈[a，e]时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，

∴g（x）min=g（a）=-a2-a+alna，

当a≥e时，x∈[1，e]，g′（x）＜0，g（x）单调递减，

g（x）min=g（e）=e2-（2a+1）e+a，

∴g（x）的最小值为：g（a）=

（ III）依题意可得，f（x）=g（x）+4x-x2-lnx=x-lnx（x＞0）

∴k-f（k）=lnk，令h（x）=lnx-（x2-1），∵x∈[2，+∞）时，h′（0）=＜0，

∴h（x）≤h（2）=ln2-＜0，即lnx＜（x2-1），∴＞=2（-）

∴==++…+＞2（1-+-+…+-+-）=2（1+--）=，（n≥2）；

解：（1）f‘（x）=1-，由题意，得f'（1）=0⇒a=0…（2分）

（2）由（1）知f（x）=x-lnx

∴f（x）+2x=x2+b     x-lnx+2x=x2+b     x2-3x+lnx+b=0

设g（x）=x2-3x+lnx+b（x＞0）

则g'（x）=2x-3+=    …（4分）

当x变化时，g'（x），g（x）的变化情况如下表

当x=1时，g（x）最小值=g（1）=b-2，g（）=b--ln2，g（2）=b-2+ln2

∵方程f（x）+2x=x2+b在[，2]上恰有两个不相等的实数根

由⇒

⇒+ln2≤b≤2                      （8分）

（3）∵k-f（k）=lnk

∴

⌠（n∈N，n≥2）

设Φ（x）=lnx-（x2-1）

则Φ'（x）=-=

当x≥2时，Φ'（x）＜0⇒函数Φ（x）在[2，+∞）上是减函数，

∴Φ（x）≤Φ（2）=ln2-＜0⇒lnx＜（x2-1）

∴当x≥2时，

∴＞2[（1-）+（-）+（-）+（-）+…（）]

=2（1+-）

=．

∴原不等式成立．（12分）