函数的极值与导数的关系
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题型：单选题

单选题

对于函数f（x）=x3+ax2-x+1的极值情况，3位同学有下列看法：

甲：该函数必有2个极值；

乙：该函数的极大值必大于1；

丙：该函数的极小值必小于1；

这三种看法中，正确的个数是（　　）

A0个

B1个

C2个

D3个

正确答案

解析

解：由题意，f‘（x）=3x2+2ax-1，∴△=4a2+12＞0，所以故该函数必有2个极值点x1，x2，

不妨设x1＜0，x2＞0，易知在x=x1处取得极大值，在x=x2处取得极小值，而f（0）=1，故极大值必大于1，极小值小于1，所以甲、乙、丙三人的说法正确

故选D．

题型：简答题

简答题

已知函数f（x）=2lnx+x2，g（x）=3x+b-1．

（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；

（Ⅱ）设F（x）=f（x）-g（x），

（ⅰ）求函数y=F（x）的单调区间；

（ⅱ）若方程F（x）=0有3个不同的实数根，求实数b的取值范围．

正确答案

解：（Ⅰ）对f（x）=2lnx+x2，求导得，y′=+x，当x=1时，f′（1）=3

又∵切点为（1，），∴切线方程为y-=3（x-1）

即6x-2y-5=0；

（Ⅱ）依题意得F（x）=2lnx+x2-3x-b+1（x＞0）

（ⅰ）F′（x）=

由F′（x）＞0，可得x＞2或0＜x＜1，

由F′（x）＜0，可得1＜x＜2．

∴函数F（x）0的单调递增区间为（0，1）和（2，+∞），单调递减区间为（1，2 ）；

（ⅱ）由（ⅰ）可知：当x变化时，F（x），F′（x）的变化情况如表

∴当x=1时，F（x）有极大值，并且极大值为F（1）=--b；

当x=2时，F（x）有极小值，并且极小值为F（2）=2ln2-3-b

若方程F（x）=0有3个不同的实数根，则F（1）=--b＞0，F（2）=2ln2-3-b＜0

解得2ln2-3＜b＜-．

解析

解：（Ⅰ）对f（x）=2lnx+x2，求导得，y′=+x，当x=1时，f′（1）=3

又∵切点为（1，），∴切线方程为y-=3（x-1）

即6x-2y-5=0；

（Ⅱ）依题意得F（x）=2lnx+x2-3x-b+1（x＞0）

（ⅰ）F′（x）=

由F′（x）＞0，可得x＞2或0＜x＜1，

由F′（x）＜0，可得1＜x＜2．

∴函数F（x）0的单调递增区间为（0，1）和（2，+∞），单调递减区间为（1，2 ）；

（ⅱ）由（ⅰ）可知：当x变化时，F（x），F′（x）的变化情况如表

∴当x=1时，F（x）有极大值，并且极大值为F（1）=--b；

当x=2时，F（x）有极小值，并且极小值为F（2）=2ln2-3-b

若方程F（x）=0有3个不同的实数根，则F（1）=--b＞0，F（2）=2ln2-3-b＜0

解得2ln2-3＜b＜-．

题型：单选题

单选题

设函数f（x）=x3-3ax+b（a＞0），则（　　）

Ax=是f（x）的极大值

Bx=-是f（x）的极大值

Cx=是f（x）的极大值点

Dx=-是f（x）的极大值点

正确答案

解析

解：∵函数f（x）=x3-3ax+b（a＞0），

∴f′（x）=3x2-3a，

令f′（x）=0，则x=±，

f′（x）＞0，得x＞或x＜-，f（x）单调递增；f′（x）＜0，得-＜x＜，f（x）单调递减．

∴x=-是f（x）的极大值点，x=是f（x）的极小值点，

故选D．

题型：简答题

简答题

设a＜1，集合A={x∈R|x＞0}，B={x∈R|2x2-3（1+a）x+6a＞0}，D=A∩B．

（1）求集合D（用区间表示）；

（2）求函数f（x）=2x3-3（1+a）x2+6ax在D内的极值点．

正确答案

解：（1）记h（x）=2x2-3（1+a）x+6a（a＜1）

△=9（1+a）2-48a=（3a-1）（3a-9），

当△＜0，即，D=（0，+∞），

当，

当a≤0，．

（2）由f′（x）=6x2-6（1+a）x+6a=0得x=1，a，

①当，f（x）在D内有一个极大值点a，有一个极小值点；

②当，∵h（1）=2-3（1+a）+6a=3a-1≤0，

h（a）=2a2-3（1+a）a+6a=3a-a2＞0，

∴1∉D，a∈D，

∴f（x）在D内有一个极大值点a．

③当a≤0，则a∉D，

又∵h（1）=2-3（1+a）+6a=3a-1＜0．

∴f（x）在D内有无极值点．

解析

解：（1）记h（x）=2x2-3（1+a）x+6a（a＜1）

△=9（1+a）2-48a=（3a-1）（3a-9），

当△＜0，即，D=（0，+∞），

当，

当a≤0，．

（2）由f′（x）=6x2-6（1+a）x+6a=0得x=1，a，

①当，f（x）在D内有一个极大值点a，有一个极小值点；

②当，∵h（1）=2-3（1+a）+6a=3a-1≤0，

h（a）=2a2-3（1+a）a+6a=3a-a2＞0，

∴1∉D，a∈D，

∴f（x）在D内有一个极大值点a．

③当a≤0，则a∉D，

又∵h（1）=2-3（1+a）+6a=3a-1＜0．

∴f（x）在D内有无极值点．

题型：简答题

简答题

已知函数f（x）=-x3+（-1）x2+ax（a∈R）

（I）证明：函数f（x）总有两个极值点x1，x2且|x1-x2|≥2；

（II）设函数f（x）在（-1，1）上单调递增，求a的取值范围．

正确答案

（I）证明：求导函数可得f′（x）=-x2+（a-2）x+a

令f′（x）=0，则△=（a-2）2+4a=a2+4＞0，∴函数f（x）总有两个极值点x1，x2，

且x1+x2=a-2，x1x2=-a

∴|x1-x2|==≥2；

（II）解：由（I）知函数的单调递增区间为（x1，x2）（不妨设x1＜x2）

∵函数f（x）在（-1，1）上单调递增，

∴（-1，1）⊆（x1，x2）

∴

∴a≥

∴a的取值范围是[，+∞）．

解析

（I）证明：求导函数可得f′（x）=-x2+（a-2）x+a

令f′（x）=0，则△=（a-2）2+4a=a2+4＞0，∴函数f（x）总有两个极值点x1，x2，

且x1+x2=a-2，x1x2=-a

∴|x1-x2|==≥2；

（II）解：由（I）知函数的单调递增区间为（x1，x2）（不妨设x1＜x2）

∵函数f（x）在（-1，1）上单调递增，

∴（-1，1）⊆（x1，x2）

∴

∴a≥

∴a的取值范围是[，+∞）．

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