热门试卷

解：（1）∵f（x）=x3-3ax-1（a≠0），

∴f′（x）=3x2-3a=3（x2-a）；

当a＜0时，f′（x）＞0，f（x）是R上的增函数，无极值；

当a＞0时，f′（x）=3（x+）（x-）；

∴当x＜-时，f′（x）＞0，f（x）是增函数，

当-＜x＜时，f′（x）＜0，f（x）是减函数，

当x＞时，f′（x）＞0，f（x）是增函数，

∴x=-时，f（x）有极大值2a-1；

x=时，f（x）有极小值-2a-1；

（2）∵f（x）的导数是f′（x）=3x2-3a=3（x2-a），

且f（x）在x=-1处取得极值，

∴3[（-1）2-a]=0，∴a=1；

∴f′（x）=3（x+1）（x-1）；

由（1）知，当x=-1时，f（x）有极大值1；

当x=1时，f（x）有极小值-3；如图，

方程f（x）=m有三个不等的实根时，-3＜m＜1；

∴m的取值范围是{m|-3＜m＜1}．

解：（Ⅰ）f′（x）=ex-2ax+b，

∵曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=x+1，

∴即，解得；

（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=ex-ax2，

当a＞0时，方程f（x）=0在（0，+∞）有唯一的实数解，

等价于方程a=在（0，+∞）有唯一的实数解，

设g（x）=，x∈（0，+∞）

则g′（x）==

∴当0＜x＜2时，g′（x）＜0，x＞2时，g′（x）＞0

∴函数g（x）=在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，

∴g（x）min=g（2）=，

当x＞0且x→0时，g（x）→+∞，当x→+∞时，g（x）→+∞

∴当a=时，方程f（x）=0在（0，+∞）有唯一的实数解；

（Ⅲ）当a=2时，f（x）=eex-2x2，x∈[0，3]

设h（x）=f′（x）=ex-4x，则h′（x）=ex-4，x∈[0，3]

因为h′（x）在[0，3]上是增函数，令h′（x）=ex-4=0，得x0=ln4

∴x∈（0，ln4）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，

x∈（ln4，3）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，

f′（x）min=h（x）min=h（ln4）=eln4-4ln4=4-4ln4＜0

且f′（0）=h（0）=1＞0，f′（3）=h（3）=e3-12＞0

∴存在x1，x2，x1∈（0，ln4），x2∈（ln4，3），使f′（x1）=0，f′（x2）=0

x∈（x1，x2），f′（x）＜0，f（x）单调递减，

x∈（x2，3），f′（x）＞0，f（x）单调递减，

∴函数y=f（x）在[0，3]上有且仅有两个极值点，

∴函数y=f（x）在[0，3]上的最大值为f（x1）和f（3）的较大者

f（3）=e3-18＞2，∵

f（x1）==4x1-2x12=-2（x1-1）2+2≤2

故最大值为f（3）=e3-18．

解：（I）f′（x）=，（x＞0）．

∵x=1是f（x）的一个极值点，∴=0，

∴，

∴

=，

令f′（x）＞0，解得0＜x＜1；令f′（x）＜0，解得x＞1．

故单增区间为（0，1），单减区间为（1，+∞）．

（II）由（I）知，，

∴，

∴，

∵ai＞0，∴，

∴；

（III）证法1：先证，

令

∵

当0＜x＜1时，g′（x）＜0；x＞1时，g′（x）＞0．

∴，

∴，

∵ai＞0，∴，

∴

．

证法2：由柯西不等式得，

令，则，

又由均值不等式知：，

∴，…．

由不等式的性质知．即证．