- 函数的极值与导数的关系
- 共7619题
函数f（x）=x3-3x2+3x的极值点的个数是______．
正确答案
0
解析
解：由题知f（x）的导函数f‘（x）=3x2-6x+3=3（x-1）2≥0恒成立，
∴函数f（x）在R上单调递增，
∴函数 f（x）=x3-3x2+3x没有极值点．
故答案为：0．
“a≥2
正确答案
解析
解：若f（x）=x3-ax2+4x-8有极值，
则f′（x）=3x2-2ax+4=0有两个不同的根，
即△=4a2-4×3×4＞0，
即a2＞12，
∴a
∴当a≥2
当a
即“a≥2
故选：D．
函数f（x）=x3-3x-m在[0，2]上有零点，则实数m的取值范围是（ ）
正确答案
解析
解：由函数f（x）=x3-3x-m，
得：f′（x）=3x2-3=3（x-1）（x+1），
当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，函数f（x）在（0，1）上为减函数，
当x∈（1，2）时，f′（x）＞0，函数f（x）在（1，2）上为增函数，
所以函数f（x）=x3-3x-m在[0，2]上有极小值，也就是最小值，最小值是f（1）=-2-m，
f（x）在[0，2]内的最大值是f（0）=-m和f（2）=2-m中的较大者，是f（2）=2-m，
要使得函数f（x）=x3-3x-m在[0，2]上有零点，
则：f（1）≤0且f（2）≥0
即
所以，函数f（x）=x3-3x-m在[0，2]上有零点的实数m的取值范围是[-2，2]．
故选A．
已知函数f（x）=
（Ⅰ）若f（x）有两个极值点，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅲ）证明：当-1＜a＜0时，方程f（x）=0有且只有一个实数根．
正确答案
（Ⅰ）解：
f（x）有两个极值点等价于方程f‘（x）=0在（0，+∞）上有两个不等的实根，
等价于
（Ⅱ）解：（1）当-1＜a＜0时，
由
由
此时f（x）在（0，1）、
（2）当a≥0时，因为x＞0，所以ax+1＞0，则当0＜x＜1时，f'（x）＜0；当x＞1时，f'（x）＞0．从而f（x）在（0，1）上递减，在（1，+∞）上递增，…（10分）
（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知，（1）当-1＜a＜0时，
因为-1＜a＜0，
所以
又f（x）的图象连续不断，故当-1＜a＜0时，f（x）的图象与x轴有且仅有一个交点．
所以当-1＜a＜0时，方程f（x）=0有且只有一个实数根．…（15分）
解析
（Ⅰ）解：
f（x）有两个极值点等价于方程f‘（x）=0在（0，+∞）上有两个不等的实根，
等价于
（Ⅱ）解：（1）当-1＜a＜0时，
由
由
此时f（x）在（0，1）、
（2）当a≥0时，因为x＞0，所以ax+1＞0，则当0＜x＜1时，f'（x）＜0；当x＞1时，f'（x）＞0．从而f（x）在（0，1）上递减，在（1，+∞）上递增，…（10分）
（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知，（1）当-1＜a＜0时，
因为-1＜a＜0，
所以
又f（x）的图象连续不断，故当-1＜a＜0时，f（x）的图象与x轴有且仅有一个交点．
所以当-1＜a＜0时，方程f（x）=0有且只有一个实数根．…（15分）
已知f（x）=x3+ax2+bx+b2，当x=-1时，有极值8，则a+b=______．
正确答案
解析
解：由f（x）=x3+ax2+bx+b2，
得f′（x）=3x2+2ax+b，
解得 
当
当x＜-1时，f′（x）＞0；当x＞-1时，f′（x）＞0，
故函数f（x）在-1的两边都是增函数，
此时，函数在x=-1时没有极值，应舍去．
当
当x＜-1时，f′（x）＞0；当
故函数f（x）在-1的两边导数值异号，
此时，函数在x=-1时有极值．
∴
∴a+b=
故答案为：
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