函数的极值与导数的关系
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题型：填空题

填空题

若函数有两个极大值点，则实数a的取值范围是______．

正确答案

a＜0或0＜a＜或a＞3．

解析

解：设，则g‘（x）=x2-（a+1）x+a=（x-1）（x-a）．因为函数f（x）有两个极值，所以函数g（x）不单调，所以a≠1．

①若a＜0，则函数g（x）在x=1处只有一个极小值g（1），当极小值小于0时，加上绝对值则相应变为极大值，所以此时有，解得

，所以此时a＜0成立．

②若a＞0且a≠1，此时函数分别在x=1处和x=a处，取得极值g（1），g（a），两者一个为极大值，一个为极小值．所以要使函数函数有两个极大值点，则满足g（1）g（a）＜0，即，，所以，解得0＜a＜或a＞3

综上满足条件的实数a的取值范围是a＜0或0＜a＜或a＞3．

故答案为：a＜0或0＜a＜或a＞3．

题型：单选题

单选题

函数f（x）=x3-ax2-bx+a2在x=1处有极值10，则点（a，b）为（　　）

A（3，-3）

B（-4，11）

C（3，-3）或（-4，11）

D不存在

正确答案

解析

解：对函数f（x）求导得 f′（x）=3x2-2ax-b，

又∵在x=1时f（x）有极值10，

∴，

解得或，

验证知，当a=3，b=-3时，在x=1无极值，

故选B．

题型：简答题

简答题

已知函数f（x）=x4+ax3+x2（x∈R）

（I）若a=-2，求f（x）的单调区间；

（II）若f（x）仅在x=0处有极值，求实数a的范围．

正确答案

解：（I）当a=-2时，f（x）=x4-2x3+x2

f′（x）=4x3-6x2+2x，

令f′（x）＞0，即4x3-6x2+2x＞0，解得0＜x＜，或x＞1

令f′（x）＜0，即4x3-6x2+2x＜0，解得x＜0，或＜x＜1

∴f（x）的单调增区间为（0，）和（1，+∞）

f（x）的单调减区间为（-∞，0），和（，1）

（II）f′（x）=4x3+3ax2+2x，

令f′（x）=0，即4x3+3ax2+2x=0，化简得x（4x2+3ax+2）=0

∵f（x）仅在x=0处有极值，∴4x2+3ax+2＞0恒成立

∴△=9a2-32＜0

解得-＜a＜

∴实数a的范围为（-，）

解析

解：（I）当a=-2时，f（x）=x4-2x3+x2

f′（x）=4x3-6x2+2x，

令f′（x）＞0，即4x3-6x2+2x＞0，解得0＜x＜，或x＞1

令f′（x）＜0，即4x3-6x2+2x＜0，解得x＜0，或＜x＜1

∴f（x）的单调增区间为（0，）和（1，+∞）

f（x）的单调减区间为（-∞，0），和（，1）

（II）f′（x）=4x3+3ax2+2x，

令f′（x）=0，即4x3+3ax2+2x=0，化简得x（4x2+3ax+2）=0

∵f（x）仅在x=0处有极值，∴4x2+3ax+2＞0恒成立

∴△=9a2-32＜0

解得-＜a＜

∴实数a的范围为（-，）

题型：简答题

简答题

已知函数f（x）=x3-x2+cx+d有极值．

（Ⅰ）求c的取值范围；

（Ⅱ）若f（x）在x=2处取得极值，且当x＜0时，f（x）＜d2+2d恒成立，求d的取值范围．

正确答案

解（Ⅰ）∵f（x）=x3-x2+cx+d，

∴f′（x）=x2-x+c，要使f（x）有极值，则方程f′（x）=x2-x+c=0有两个实数解，

从而△=1-4c＞0，

∴c＜．

（Ⅱ）∵f（x）在x=2处取得极值，

∴f′（2）=4-2+c=0，

∴c=-2．

∴f（x）=x3-x2-2x+d，

∵f′（x）=x2-x-2=（x-2）（x+1），

∴当x∈（-∞，-1]时，f′（x）＞0，函数单调递增，当x∈（-1，2]时，f′（x）＜0，函数单调递减．

∴x＜0时，f（x）在x=-1处取得最大值，

∵x＜0时，f（x）＜恒成立，

∴＜，即（d+7）（d-1）＞0，

∴d＜-7或d＞1，

即d的取值范围是（-∞，-7）∪（1，+∞）．

解析

解（Ⅰ）∵f（x）=x3-x2+cx+d，

∴f′（x）=x2-x+c，要使f（x）有极值，则方程f′（x）=x2-x+c=0有两个实数解，

从而△=1-4c＞0，

∴c＜．

（Ⅱ）∵f（x）在x=2处取得极值，

∴f′（2）=4-2+c=0，

∴c=-2．

∴f（x）=x3-x2-2x+d，

∵f′（x）=x2-x-2=（x-2）（x+1），

∴当x∈（-∞，-1]时，f′（x）＞0，函数单调递增，当x∈（-1，2]时，f′（x）＜0，函数单调递减．

∴x＜0时，f（x）在x=-1处取得最大值，

∵x＜0时，f（x）＜恒成立，

∴＜，即（d+7）（d-1）＞0，

∴d＜-7或d＞1，

即d的取值范围是（-∞，-7）∪（1，+∞）．

题型：简答题

简答题

已知函数f（x）=a（x-1）2+lnx+1．

（Ⅰ）当时，求函数f（x）的极值；

（Ⅱ）若函数f（x）在区间[2，4]上是减函数，求实数a的取值范围；

（Ⅲ）当x∈[1，+∞）时，函数y=f（x）图象上的点都在所表示的平面区域内，求实数a的取值范围．

正确答案

解：（Ⅰ）当时，（x＞0），

所以（x＞0），

由f‘（x）＞0解得0＜x＜2；由f'（x）＜0解得x＞2，

故当0＜x＜2时，f（x）的单调递增；当x＞2时，f（x）单调递减，

∴当x=2时，函数f（x）取得极大值．（4分）

（Ⅱ），∵函数f（x）在区间[2，4]上单调递减，

∴导数在区间[2，4]上恒成立，

即在[2，4]上恒成立，只需2a不大于在[2，4]上的最小值即可．（6分）

而（2≤x≤4），则当2≤x≤4时，，

∴，即，故实数a的取值范围是．（8分）

（Ⅲ）因f（x）图象上的点在所表示的平面区域内，

即当x∈[1，+∞）时，不等式f（x）≤x恒成立，即a（x-1）2+lnx-x+1≤0恒成立，

设g（x）=a（x-1）2+lnx-x+1（x≥1），只需g（x）max≤0即可．（9分）

由=，

（ⅰ）当a=0时，，当x＞1时，g'（x）＜0，函数g（x）在（1，+∞）上单调递减，故g（x）≤g（1）=0成立．（10分）

（ⅱ）当a＞0时，由，令g'（x）=0，得x1=1或，

①若，即时，在区间（1，+∞）上，g'（x）＞0，函数g（x）在（1，+∞）上单调递增，函数g（x）在[1，+∞）上无最大值，不满足条件；

②若，即时，函数g（x）在上单调递减，在区间上单调递增，同样g（x）在[1，+∞）上无最大值，不满足条件．（12分）

（ⅲ）当a＜0时，由，因x∈（1，+∞），故g'（x）＜0，则函数g（x）在（1，+∞）上单调递减，故g（x）≤g（1）=0成立．

综上所述，实数a的取值范围是（-∞，0]．（14分）

解析

解：（Ⅰ）当时，（x＞0），

所以（x＞0），

由f‘（x）＞0解得0＜x＜2；由f'（x）＜0解得x＞2，

故当0＜x＜2时，f（x）的单调递增；当x＞2时，f（x）单调递减，

∴当x=2时，函数f（x）取得极大值．（4分）

（Ⅱ），∵函数f（x）在区间[2，4]上单调递减，

∴导数在区间[2，4]上恒成立，

即在[2，4]上恒成立，只需2a不大于在[2，4]上的最小值即可．（6分）

而（2≤x≤4），则当2≤x≤4时，，

∴，即，故实数a的取值范围是．（8分）

（Ⅲ）因f（x）图象上的点在所表示的平面区域内，

即当x∈[1，+∞）时，不等式f（x）≤x恒成立，即a（x-1）2+lnx-x+1≤0恒成立，

设g（x）=a（x-1）2+lnx-x+1（x≥1），只需g（x）max≤0即可．（9分）

由=，

（ⅰ）当a=0时，，当x＞1时，g'（x）＜0，函数g（x）在（1，+∞）上单调递减，故g（x）≤g（1）=0成立．（10分）

（ⅱ）当a＞0时，由，令g'（x）=0，得x1=1或，

①若，即时，在区间（1，+∞）上，g'（x）＞0，函数g（x）在（1，+∞）上单调递增，函数g（x）在[1，+∞）上无最大值，不满足条件；

②若，即时，函数g（x）在上单调递减，在区间上单调递增，同样g（x）在[1，+∞）上无最大值，不满足条件．（12分）

（ⅲ）当a＜0时，由，因x∈（1，+∞），故g'（x）＜0，则函数g（x）在（1，+∞）上单调递减，故g（x）≤g（1）=0成立．

综上所述，实数a的取值范围是（-∞，0]．（14分）

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