函数的极值与导数的关系
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题型：单选题

单选题

（2012秋•深圳校级期末）函数y=ax3+x+3有极值，则a的取值范围为（　　）

Aa＞0

Ba≥0

Ca＜0

Da≤0

正确答案

解析

解：f（x）=ax3+x+3的导数为f′（x）=3ax2+1，

若函数f（x）有极值，则f′（x）=0有解，即3ax2+1=0有解，∴a＜0．

故选C．

题型：简答题

简答题

已知函数f（x）=ax3+bx2-3x，（a，b∈R）在点x=-1处取得极大值为2，求：

（1）函数f（x）的解析式；

（2）函数f（x）在区间[-2，2]的最值．

正确答案

解：（1）f′（x）=3ax2+2bx-3，

依题意得：f（-1）=2，f′（-1）=0，

即，

解得a=1，b=0，

∴f（x）=x3-3x；

（2）由（1）得：f（x）=x3-3x，f′（x）=3x2-3，

令f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜-1，

令f′（x）＜0，解得：-1＜x＜1，

∴f（x）在[-2，-1），（1，2]递增，在（-1，1）递减，

∴f（x）极大值=f（-1）=-1+3=2，

f（x）极小值=f（1）=1-3=-2，

而f（-2）=-8+6=-2，f（2）=8-6=2，

∴f（x）在[-2，2]上的最小值是-2，最大值是2．

解析

解：（1）f′（x）=3ax2+2bx-3，

依题意得：f（-1）=2，f′（-1）=0，

即，

解得a=1，b=0，

∴f（x）=x3-3x；

（2）由（1）得：f（x）=x3-3x，f′（x）=3x2-3，

令f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜-1，

令f′（x）＜0，解得：-1＜x＜1，

∴f（x）在[-2，-1），（1，2]递增，在（-1，1）递减，

∴f（x）极大值=f（-1）=-1+3=2，

f（x）极小值=f（1）=1-3=-2，

而f（-2）=-8+6=-2，f（2）=8-6=2，

∴f（x）在[-2，2]上的最小值是-2，最大值是2．

题型：简答题

简答题

已知函数f（x）=ax3+bx2-2x+c在x=-2时有极大值6，在x=1时有极小值，

（1）求a，b，c的值；

（2）求f（x）在区间[-3，3]上的最大值和最小值．

正确答案

解：（1）f′（x）=3ax2+2bx-2由条件知解得a=，b=，c=

（2）f（x）=，f′（x）=x2+x-2=0解得x=-2，x=1

由上表知，在区间[-3，3]上，当x=3时，fmax=；当x=1，fmin=．

解析

解：（1）f′（x）=3ax2+2bx-2由条件知解得a=，b=，c=

（2）f（x）=，f′（x）=x2+x-2=0解得x=-2，x=1

由上表知，在区间[-3，3]上，当x=3时，fmax=；当x=1，fmin=．

题型：简答题

简答题

已知函数f（x）=x-acosx，x∈（）．

（1）当a=-2时，求函数f（x）的极大值；

（2）若函数f（x）有极大值，求实数a的取值范围．

正确答案

解：f′（x）=1+asinx，

（I）当a=-2时，f′（x）=1-2sinx，当f′（x）=0时，x=．

当x∈（）时，f′（x）＞0时，当x∈（）时，f′（x）＜0时，

∴故当x=时，f（x）有极大值，其极大值为f（）=+．（6分）

（II）当x∈（）时，|sinx|＜1，

（1）当|a|≤1时，得|asinx|＜1，此时，f′（x）＞0恒成立，没有极值；

（2）当a＞1时，得-a＜asinx＜a，此时，f′（x）=0即1+asinx=0有解，设为α，

由于y=asinx单调增，所以当x∈（-）时，f′（x）＜0，x∈（）时，f′（x）＞0，

∴f（x）在x∈（）没有极大值；

（3）当a＜-1时，得a＜asinx＜-a，此时，f′（x）=0即1+asinx=0有解，设为β，

由于y=asinx单调增，所以当x∈（-）时，f′（x）＞0，x∈（）时，f′（x）＜0，

∴f（x）在x∈（）有极大值；

综上所述，f（x）有极大值，实数a的取值范围（-∞，-1）

解析

解：f′（x）=1+asinx，

（I）当a=-2时，f′（x）=1-2sinx，当f′（x）=0时，x=．

当x∈（）时，f′（x）＞0时，当x∈（）时，f′（x）＜0时，

∴故当x=时，f（x）有极大值，其极大值为f（）=+．（6分）

（II）当x∈（）时，|sinx|＜1，

（1）当|a|≤1时，得|asinx|＜1，此时，f′（x）＞0恒成立，没有极值；

（2）当a＞1时，得-a＜asinx＜a，此时，f′（x）=0即1+asinx=0有解，设为α，

由于y=asinx单调增，所以当x∈（-）时，f′（x）＜0，x∈（）时，f′（x）＞0，

∴f（x）在x∈（）没有极大值；

（3）当a＜-1时，得a＜asinx＜-a，此时，f′（x）=0即1+asinx=0有解，设为β，

由于y=asinx单调增，所以当x∈（-）时，f′（x）＞0，x∈（）时，f′（x）＜0，

∴f（x）在x∈（）有极大值；

综上所述，f（x）有极大值，实数a的取值范围（-∞，-1）

题型：简答题

简答题

已知函数f（x）=ax2-（a+1）x+1

（I）当时，不等式f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围；

（II）设H（x）=[f（x）+a-1]ex，当a＞-1且a≠0时，时求函数H（x）的单调区间和极值．

正确答案

解：（I）①当a=0时f（x）=-x+1，在上f（x）＞0一定成立

②当a≠0时，当a＞0时，二次函数y=f（x）的图象开口向上，且与x轴有两个交点（1，0）和要使f（x）＞0在上恒成立，当且仅当，即0＜a≤1；

当a＜0时，二次函数y=f（x）的图象开口向下，且与x轴有两个交点（1，0）和要使f（x）＞0在上恒成立，当且仅当，即-2≤a≤0

综合可得实数a的取值范围是：-2≤a≤1．

（II）H（x）=[ax2-（a+1）x+a]ex，

令H‘（x）=0，解得x=，或x=-1

①当a＞0时，则．当x变化时，H'（x），H（x）的变化情况如下表：

所以函数H（x）在（-∞，-1），内是增函数，在内是减函数．

函数H（x）在x=-1处取得极大值H（-1），

且H（-1）=（3a+1）e-1函数H（x）在处取得极小值，且

②当-1＜a＜0时，则，当x变化时，H'（x），H（x）的变化情况如下表：

所以函数H（x）在，（-1，+∞）内是减函数，

在内是增函数函数H（x）在x=-1处取得极大值H（-1），

且H（-1）=（3a+1）e-1函数H（x）在x=处取得极小值，且H

解析

解：（I）①当a=0时f（x）=-x+1，在上f（x）＞0一定成立

②当a≠0时，当a＞0时，二次函数y=f（x）的图象开口向上，且与x轴有两个交点（1，0）和要使f（x）＞0在上恒成立，当且仅当，即0＜a≤1；

当a＜0时，二次函数y=f（x）的图象开口向下，且与x轴有两个交点（1，0）和要使f（x）＞0在上恒成立，当且仅当，即-2≤a≤0

综合可得实数a的取值范围是：-2≤a≤1．

（II）H（x）=[ax2-（a+1）x+a]ex，

令H‘（x）=0，解得x=，或x=-1

①当a＞0时，则．当x变化时，H'（x），H（x）的变化情况如下表：

所以函数H（x）在（-∞，-1），内是增函数，在内是减函数．

函数H（x）在x=-1处取得极大值H（-1），

且H（-1）=（3a+1）e-1函数H（x）在处取得极小值，且

②当-1＜a＜0时，则，当x变化时，H'（x），H（x）的变化情况如下表：

所以函数H（x）在，（-1，+∞）内是减函数，

在内是增函数函数H（x）在x=-1处取得极大值H（-1），

且H（-1）=（3a+1）e-1函数H（x）在x=处取得极小值，且H

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