热门试卷

解：（1）∵函数y=x3+3ax2+3bx+c，

∴y‘=3x2+6ax+3b，

∵函数y=x3+3ax2+3bx+c在x=2处有极值，

∴当x=2时，y′=0，即12+12a+3b=0，①

∵函数图象在x=1处的切线与直线6x+2y+5=0平行，

∴k=y′|x=1=3+6a+3b=-3，②

联立①②，解得a=-1，b=0，

∴y=x3-3x2+c，．

（2）由（1）可知，y'=3x2-6x，

令y′=0，即3x2-6x=0，解得x=0，x=2，

∵函数在（-∞，0）上单调递增，在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，

∴函数在x=0时取得极大值c，在x=2时取得极小值c-4，

∴函数的极大值与极小值的差为c-（c-4）=4．

解：（Ⅰ）∵（b，c∈R，c≠0），

∴=，

∵x=1为f（x）的极值点，

∴f′（1）=0，

∴b+c+1=0，且c≠1，

．

∵x=1为f（x）的极大值点，

∴c＞1．

当0＜x＜1时，f′（x）＞0；

当1＜x＜c时，f′（x）＜0；

当x＞c时，f′（x）＞0．

∴f（x）的递增区间为（0，1），（c，+∞）；递减区间为（1，c）．

（ II）若c＜0，则f（x）在（0，1）上递减，

在（1，+∞）上递增f（x）=0恰有1解，

则f（1）=0，

即，所以；

若0＜c＜1，则，

因为b=-1-c，则

，

从而f（x）=0恰有一解；

若c＞1，则

，

从而f（x）=0恰有一解；

所以所求c的范围为{c|}．．

证明：（1）由g（x）=ax3+bx2+cx得g′（x）=ax2+bx+c，

∵ac＜0，∴△＞0且a≠0．   …（4分）

∴函数g′（x）有两个零点，则可设为g′（x）=a（x-α）（x-β）

∴若x1＜α＜x2＜β＜x3，则g′（x1）g′（x2）＜0，g′（x2）g′（x3）＜0．

∴g（x）有极值．  …（6分）

（2）由ex-c=cx，得ex-cx-c=0，

记h（x）=ex-cx-c，则h′（x）=ex-c，

由函数y=f（x）与y=g（x）的图象有两个相异交点知函数h（x）有两互异零点…（9分）

若c≤0，h（x）单调递增，则h（x）最多1个零点，矛盾．  …（11分）

∴c＞0．此时，令h′（x）=0，则x=lnc．

列表：

∴h（x）min=h（lnc）=-clnc＜0，∴c＞1．…（16分）