函数的极值与导数的关系
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题型：单选题

单选题

（2015•武昌区模拟）已知函数f（x）=x3-3x，x∈R，若方程f（x）=k|x-|恰有3个互异的实数根，则实数k的取值范围是（　　）

A（-，6）

B（-6，）

C（-∞，-6）∪（，+∞）

D（-∞，-）∪（6，+∞）

正确答案

解析

解：由题意，方程f（x）=k|x-|有1个根为，故问题转化为过（，0）的切线问题．

∵f（x）=x3-3x，

∴f′（x）=3x2-3，

设切点为（a，a3-3a），则f′（a）=3a2-3，

切线方程为y-（a3-3a）=（3a2-3）（x-a），

代入（，0），可得0-（a3-3a）=（3a2-3）（-a），

∴（a-）2（2a+）=0，

∴a=或a=-，

∴f′（a）=6或-，

∴实数k的取值范围是（-6，）．

故选：B．

题型：简答题

简答题

已知a，b为常数，a≠0，函数．

（1）若a=2，b=1，求f（x）在（0，+∞）内的极值；

（2）①若a＞0，b＞0，求证：f（x）在区间[1，2]上是增函数；

②若f（2）＜0，f（-2）＜e-2，且f（x）在区间[1，2]上是增函数，求由所有点（a，b）形成的平面区域的面积．

正确答案

解：（1）若a=2，b=1，则f（x）=（2+）ex，

则f′（x）=（x+1）（2x-1），

由f′（x）＞0，得x＞，此时函数单调递增，

由f′（x）＜0，得0＜x＜，此时函数单调递减，

则当x=时，f（x）取得极小值，f（）=4．

（2）f′（x）=（ax2+bx-b），

设g（x）=ax2+bx-b，

①证明：若a＞0，b＞0，则二次函数g（x）的图象开口向上，对称轴x=-＜0，且g（1）=a＞0，

∴g（x）＞0，对一切x∈[1，2]恒成立，

又，∴f（x）＞0恒成立．即f（x）在区间[1，2]上是增函数；

②若f（2）＜0，f（-2）＜e-2，

则，即，（•），

∵f（x）在区间[1，2]上是增函数，

∴f′（x）≥0对x∈[1，2]恒成立，即，（••），

在（•），（••）的条件下，b＜0，且1＜≤2，

且g（）=恒成立，

综上求由所有点（a，b）满足的约束条件为，

则不等式组对应的平面区域为△OAB，其中A（），B（），C（1，0），

则形成的平面区域的面积S=S△OAC-S△OBC=．

即△OAB的面积为．

解析

解：（1）若a=2，b=1，则f（x）=（2+）ex，

则f′（x）=（x+1）（2x-1），

由f′（x）＞0，得x＞，此时函数单调递增，

由f′（x）＜0，得0＜x＜，此时函数单调递减，

则当x=时，f（x）取得极小值，f（）=4．

（2）f′（x）=（ax2+bx-b），

设g（x）=ax2+bx-b，

①证明：若a＞0，b＞0，则二次函数g（x）的图象开口向上，对称轴x=-＜0，且g（1）=a＞0，

∴g（x）＞0，对一切x∈[1，2]恒成立，

又，∴f（x）＞0恒成立．即f（x）在区间[1，2]上是增函数；

②若f（2）＜0，f（-2）＜e-2，

则，即，（•），

∵f（x）在区间[1，2]上是增函数，

∴f′（x）≥0对x∈[1，2]恒成立，即，（••），

在（•），（••）的条件下，b＜0，且1＜≤2，

且g（）=恒成立，

综上求由所有点（a，b）满足的约束条件为，

则不等式组对应的平面区域为△OAB，其中A（），B（），C（1，0），

则形成的平面区域的面积S=S△OAC-S△OBC=．

即△OAB的面积为．

题型：单选题

单选题

正项等差数列{an}中的a1、a4029是函数f（x）=lnx-x2+8x-1的极值点，则log2a2015=（　　）

正确答案

解析

解：f′（x）==，

∵a1、a4017是函数f（x）=lnx-x2+8x-1的极值点，

∴a1、a4029是方程1-2x2+8x=0的两个实数根，

则a1+a4029=4．而{an}为等差数列，

∴a1+a4029=2a2015，即a2015=2，从而从而log2a2015=log24=1．

故选D．

题型：单选题

单选题

函数g（x）=x3+（+2）x2-2x在（2，3）上总存在极值，则实数m的取值范围为（　　）

A（-，-6）

B（-，-9）

C（-，9）

D（-，-6）

正确答案

解析

解：g′（x）=3x2+（m+4）x-2

∵g（x）在区间（2，3）上总不是单调函数，∴，

∴

故选B

题型：简答题

简答题

设x=1和x=2是函数f（x）=ax3+bx2+6x+1的两个极值点．

（1）求a，b的值

（2）求f（x）的单调区间．

正确答案

解：（1）由于函数f（x）=ax3+bx2+6x+1，则f′（x）=3ax2+2bx+6，

由已知可得f′（1）=3a+2b+6=0，f′（2）=12a+4b+6=0，

解得a=1，b=-；

（2）由（1）知f′（x）=3x2-9x+6=3（x-1）（x-2）

当x＜1或x＞2时，f′（x）＞0；当1＜x＜2时，f′（x）＜0．

因此f（x）的单调增区间是（-∞，1），（2，+∞）； f（x）的单调减区间是（1，2）．

解析

解：（1）由于函数f（x）=ax3+bx2+6x+1，则f′（x）=3ax2+2bx+6，

由已知可得f′（1）=3a+2b+6=0，f′（2）=12a+4b+6=0，

解得a=1，b=-；

（2）由（1）知f′（x）=3x2-9x+6=3（x-1）（x-2）

当x＜1或x＞2时，f′（x）＞0；当1＜x＜2时，f′（x）＜0．

因此f（x）的单调增区间是（-∞，1），（2，+∞）； f（x）的单调减区间是（1，2）．

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