- 函数的极值与导数的关系
- 共7619题
已知x=-2与x=4是函数f（x）=-x3+ax2+bx的两个极值点．
（1）求常数a、b的值；
（2）判断函数x=-2，x=4处的值是函数的极大值还是极小值，并说明理由．
正确答案
解：（1）f′（x）=-3x2+2ax+b．
由极值点的必要条件可知x=-2和x=4是方程f′（x）=0的两根，
则-2+4=
（2）由（1）知，f′（x）=-3x2+6x+24=-3（x+2）（x-4），
当x＜-2或x＞4时，f′（x）＜0；
当-2＜x＜4时，f′（x）＞0．
∴当x=-2时f（x）取得极小值，x=4时f（x）取得极大值．
解析
解：（1）f′（x）=-3x2+2ax+b．
由极值点的必要条件可知x=-2和x=4是方程f′（x）=0的两根，
则-2+4=
（2）由（1）知，f′（x）=-3x2+6x+24=-3（x+2）（x-4），
当x＜-2或x＞4时，f′（x）＜0；
当-2＜x＜4时，f′（x）＞0．
∴当x=-2时f（x）取得极小值，x=4时f（x）取得极大值．
已知函数f（x）=x2+alnx．
（I）当a=-2时，求函数f（x）的极值；
（II）若g（x）=f（x）+
正确答案
解：（I）函数f（x）的定义域为（0，+∞）
当a=-2时，
当x变化时，f′（x），f（x）的值变化情况如下表
由上表可知，函数f（x）单调递减区间是（0，1），单调递增区间是（1，+∞）
极小值是f（1）=1，没有极大值
（2）
因为g（x）在[1，+∞）上是单调增函数
所以g′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立
即不等式
令
∴
∅（x）的最大值为∅（1）=0
∴a≥0
故a的取值范围为[0，+∞）
解析
解：（I）函数f（x）的定义域为（0，+∞）
当a=-2时，
当x变化时，f′（x），f（x）的值变化情况如下表
由上表可知，函数f（x）单调递减区间是（0，1），单调递增区间是（1，+∞）
极小值是f（1）=1，没有极大值
（2）
因为g（x）在[1，+∞）上是单调增函数
所以g′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立
即不等式
令
∴
∅（x）的最大值为∅（1）=0
∴a≥0
故a的取值范围为[0，+∞）
某三次函数当x=1时有极大值4，当x=3时有极小值0，且函数图象过原点，则此函数为（ ）
正确答案
解析
解：设三次函数为y=ax3+bx2+cx+d
因为过原点，所以常数项为d=0
∴y=ax3+bx2+cx
∴y‘=3ax2+2bx+c
由于该函数当x=1时有极大值4，当x=3时，有极小值0，
所以3ax2+2bx+c=0有两个实根1和3
∴
∴a=1，b=-6，c=9
所以三次函数为y=x3-6x2+9x
故选C．
已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，f（x）在点x=0处取得极值，并且在单调区间[0，3]和[5，6]上具有相反的单调性．
（1）求实数b的值；
（2）求实数a的取值范围．
正确答案
解：（1）f′（x）=3x2+2ax+b，∵f（x）在点x=0处取得极值，∴f′（0）=0，解得b=0．
∴
可知a≠0时，b=0时，f′（x）在x=0处的左右符号相反，因此函数f（x）在点x=0处取得极值．
（2）由（1）可知：
∵f（x）在单调区间[0，3]和[5，6]上具有相反的单调性．
∴f′（x）区间[0，3]和[5，6]上具有相反的符号．分为以下两种情况：
1°若f′（x）区间[0，3]上f′（x）＞0，则[5，6]上f′（x）＜0．
2°若f′（x）区间[0，3]上f′（x）＜0，则[5，6]上f′（x）＞0．
①当a＞0时，f′（x）在区间[0，+∞）单调递增，∴f′（3）≤0，且f′（5）≥0，解得
②当a＜0时，
∵f′（0）=0，∴必有
综上可知：实数a的取值范围是
解析
解：（1）f′（x）=3x2+2ax+b，∵f（x）在点x=0处取得极值，∴f′（0）=0，解得b=0．
∴
可知a≠0时，b=0时，f′（x）在x=0处的左右符号相反，因此函数f（x）在点x=0处取得极值．
（2）由（1）可知：
∵f（x）在单调区间[0，3]和[5，6]上具有相反的单调性．
∴f′（x）区间[0，3]和[5，6]上具有相反的符号．分为以下两种情况：
1°若f′（x）区间[0，3]上f′（x）＞0，则[5，6]上f′（x）＜0．
2°若f′（x）区间[0，3]上f′（x）＜0，则[5，6]上f′（x）＞0．
①当a＞0时，f′（x）在区间[0，+∞）单调递增，∴f′（3）≤0，且f′（5）≥0，解得
②当a＜0时，
∵f′（0）=0，∴必有
综上可知：实数a的取值范围是
已知函数f（x）=2x3-3ax2+a+b（其中a，b为实常数）．
（Ⅰ）讨论函数的单调区间；
（Ⅱ） 当a＞0时，函数f（x）有三个不同的零点，证明：-a＜b＜a3-a；
（Ⅲ） 若f（x）在区间[1，2]上是减函数，设关于X的方程f（x）=2x3-2ax2+3x+a+b的两个非零实数根为x1，x2．试问是否存在实数m，使得m2+tm+1≤|x1-x2|对任意满足条件的a及t∈[-1，1]恒成立？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由．
正确答案
（Ⅰ）解：∵f′（x）=6x2-6ax=6x（x-a），
当a=0时，f′（x）=6x≥0，于是f（x）在R上单调递增；
当a＞0时，x∈（0，a），f′（x）＜0，得f（x）在（0，a）上单调递减；
x∈（-∞，0）∪（a，+∞），f′（x）＞0，得f（x）在（-∞，0），（a，+∞）上单调递增；
当a＜0时，x∈（a，0），f′（x）＜0，得f（x）在（0，a）上单调递减；
x∈（-∞，a）∪（0，+∞），f′（x）＞0，得f（x）在（-∞，a），（0，+∞）上单调递增．
综上所述：当a=0时，f（x）的增区间为（-∞，+∞）；
当a＞0时，f（x）的增区间为（-∞，0），（a，+∞），f（x）的减区间为（0，a）；
当a＜0时，f（x）的增区间为（-∞，a），（0，+∞），f（x）的减区间为（a，0）．…（3分）
（Ⅱ）证明：当a＞0时，由（Ⅰ）得f（x）在（-∞，0），（a，+∞）上是增函数，f（x）在（0，a）上是减函数；
则f（x）的极大值为f（0）=a+b，f（x）的极小值为f（a）=a+b-a3．
要使f（x）有三个不同的零点，则
可得-a＜b＜a3-a．…（8分）
（Ⅲ）解：由2x3-3ax2+a+b=x3-2ax2+3x+a+b，得x3-ax2-3x=0即x（x2-ax-3）=0，
由题意得x2-ax-3=0有两非零实数根x1，x2，则x1+x2=a，x1x2=-3，
∴|x1-x2|=
∵f（x）在[1，2]上是减函数，
∴f′（x）=6x2-6ax=6x（x-a）≤0在[1，2]上恒成立，其中x-a≤0即x≤a在[1，2]上恒成立，
∴a≥2．
∴
假设存在实数m满足条件，则m2+tm+1≤（
∴
∴存在实数m满足条件，此时m∈[
解析
（Ⅰ）解：∵f′（x）=6x2-6ax=6x（x-a），
当a=0时，f′（x）=6x≥0，于是f（x）在R上单调递增；
当a＞0时，x∈（0，a），f′（x）＜0，得f（x）在（0，a）上单调递减；
x∈（-∞，0）∪（a，+∞），f′（x）＞0，得f（x）在（-∞，0），（a，+∞）上单调递增；
当a＜0时，x∈（a，0），f′（x）＜0，得f（x）在（0，a）上单调递减；
x∈（-∞，a）∪（0，+∞），f′（x）＞0，得f（x）在（-∞，a），（0，+∞）上单调递增．
综上所述：当a=0时，f（x）的增区间为（-∞，+∞）；
当a＞0时，f（x）的增区间为（-∞，0），（a，+∞），f（x）的减区间为（0，a）；
当a＜0时，f（x）的增区间为（-∞，a），（0，+∞），f（x）的减区间为（a，0）．…（3分）
（Ⅱ）证明：当a＞0时，由（Ⅰ）得f（x）在（-∞，0），（a，+∞）上是增函数，f（x）在（0，a）上是减函数；
则f（x）的极大值为f（0）=a+b，f（x）的极小值为f（a）=a+b-a3．
要使f（x）有三个不同的零点，则
可得-a＜b＜a3-a．…（8分）
（Ⅲ）解：由2x3-3ax2+a+b=x3-2ax2+3x+a+b，得x3-ax2-3x=0即x（x2-ax-3）=0，
由题意得x2-ax-3=0有两非零实数根x1，x2，则x1+x2=a，x1x2=-3，
∴|x1-x2|=
∵f（x）在[1，2]上是减函数，
∴f′（x）=6x2-6ax=6x（x-a）≤0在[1，2]上恒成立，其中x-a≤0即x≤a在[1，2]上恒成立，
∴a≥2．
∴
假设存在实数m满足条件，则m2+tm+1≤（
∴
∴存在实数m满足条件，此时m∈[
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