- 函数的极值与导数的关系
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已知函数f（x）=
正确答案
解析
解：由f（x）=
因为当x=-1时函数f（x）的极值为
所以
把a=1代入②得：b=1．
所以f（x）=
所以
故答案为
已知函数f（x）=a（x-1）2+lnx+1．
（Ⅰ）当a=-
（Ⅱ）当x∈[1，+∞）时，函数y=f（x）图象上的点都在
正确答案
解：（Ⅰ）当
由f′（x）＞0解得0＜x＜2，由f′（x）＜0解得x＞2；
故当0＜x＜2时，f（x）单调递增；当x＞2时，f（x）单调递减；
所以当x=2时，函数f（x）取得极大值
（Ⅱ）因f（x）图象上的点在
即当x∈[1，+∞）时，不等式f（x）≤x恒成立，
即a（x-1）2+lnx-x+1≤0恒成立；
设g（x）=a（x-1）2+lnx-x+1（x≥1），
只需g（x）max≤0即可；
由
（ⅰ）当a=0时，
函数g（x）在（1，+∞）上单调递减，
故g（x）≤g（1）=0成立；
（ⅱ）当a＞0时，由
令g′（x）=0，得x1=1或
①若
函数g（x）在（1，+∞）上单调递增函数，
g（x）在[1，+∞）上无最大值，不满足条件；
②若
函数g（x）在
同样g（x）在[1，+∞）上无最大值，不满足条件；
（ⅲ）当a＜0时，由
因为x∈（1，+∞），故g′（x）＜0；
则函数g（x）在（1，+∞）上单调递减，
故g（x）≤g（1）=0成立．
综上，数a的取值范围是a≤0．
解析
解：（Ⅰ）当
由f′（x）＞0解得0＜x＜2，由f′（x）＜0解得x＞2；
故当0＜x＜2时，f（x）单调递增；当x＞2时，f（x）单调递减；
所以当x=2时，函数f（x）取得极大值
（Ⅱ）因f（x）图象上的点在
即当x∈[1，+∞）时，不等式f（x）≤x恒成立，
即a（x-1）2+lnx-x+1≤0恒成立；
设g（x）=a（x-1）2+lnx-x+1（x≥1），
只需g（x）max≤0即可；
由
（ⅰ）当a=0时，
函数g（x）在（1，+∞）上单调递减，
故g（x）≤g（1）=0成立；
（ⅱ）当a＞0时，由
令g′（x）=0，得x1=1或
①若
函数g（x）在（1，+∞）上单调递增函数，
g（x）在[1，+∞）上无最大值，不满足条件；
②若
函数g（x）在
同样g（x）在[1，+∞）上无最大值，不满足条件；
（ⅲ）当a＜0时，由
因为x∈（1，+∞），故g′（x）＜0；
则函数g（x）在（1，+∞）上单调递减，
故g（x）≤g（1）=0成立．
综上，数a的取值范围是a≤0．
函数f（x）=ax3-3x+1 对于x∈[-1，1]总有f（x）≥0成立，则a 的取值范围为（ ）
正确答案
解析
解：①当x=0时，f（x）=1≥0，对于a∈R皆成立．
②当0＜x≤1时，若总有f（x）≥0，则ax3-3x+1≥0，∴
令g（x）=
当0
∴g（x）在x=
③当-1≤x＜0时，若总有f（x）=0，则 ax3-3x+1≥0，∴a≤
令h（x）=
∴h（x）在[-1，0）上单调递增，
∴当x=-1时，h（x）取得最小值，h（-1）=4，∴a≤4．
由①②③可知：若函数f（x）=ax3-3x+1 对于x∈[-1，1]总有f（x）≥0成立，则a必须满足
∴a 的取值范围为{4}．
故选C．
已知函数f（x）=ax3+bx2+1在x=1处取极大值3，则a的值为（ ）
正确答案
解析
解：∵f（x）=ax3+bx2+1，
∴f′（x）=3ax2+2bx，
∵当x=1时，有极大值3，
∴f′（1）=0，f（1）=3，
∴3a+2b=0，a+b+1=3，
∴a=-4，b=6，
故选C．
已知a＞0，b＞0，且4a-b≥0，若函数f（x）=
A[2
B[2
C[-2
D[-2
正确答案
解析
解：由题意，f′（x）=ax2+2x+b；
则由函数f（x）=
则△=4-4ab≤0；故ab≥1；
由题意做出平面区域得，
故由图可知，
2
故选A．
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