- 函数的极值与导数的关系
- 共7619题
已知函数
（1）求b的值；
（2）求f（x）的单调减区间．
正确答案
解：（1）依题意，得f′（x）=ax2-（a+1）x+b
由于x=1为函数的一个极值点，
则f′（1）=0，
解得b=1．
（2）由（1）得；f′（x）=ax2-（a+1）x+1，
①当0＜a＜1时，
令f′（x）＜0，
∴不等式的解集为
②当a＞1时，
令f′（x）＜0，
∴不等式的解集为
综上，当0＜a＜1时，f（x）的单调减区间为（1，
当a＞1时，f（x）的单调减区间为（
解析
解：（1）依题意，得f′（x）=ax2-（a+1）x+b
由于x=1为函数的一个极值点，
则f′（1）=0，
解得b=1．
（2）由（1）得；f′（x）=ax2-（a+1）x+1，
①当0＜a＜1时，
令f′（x）＜0，
∴不等式的解集为
②当a＞1时，
令f′（x）＜0，
∴不等式的解集为
综上，当0＜a＜1时，f（x）的单调减区间为（1，
当a＞1时，f（x）的单调减区间为（
设a∈R，若函数y=ex+ax（x∈R）的极值点小于零，则（ ）
正确答案
解析
∴y‘=ex+a．
由题意知ex+a=0有小于0的实根，令y1=ex，y2=-a，则两曲线交点在第二象限，
结合图象易得0＜-a＜1⇒-1＜a＜0，
故选D．
已知函数f（x）=
（1）求a值．
（2）记g（x）=f（x）+x-b（b∈R）．函数g（x）在区间[e-1，e]上有两个零点，求实数b的取值范围．
正确答案
解：（1）函数y=f（x）的导数为f′（x）=-
∵曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线与直线y=x+2垂直，
∴切线的斜率为-1，
∴f′（1）=-2+a=-1，∴a=1；
（2）由（1）知，f（x）=
则
由g′（x）＞0解得x＞1；由g′（x）＜0解得0＜x＜1．
所以函数g（x）在区间（0，1）为减函数，在区间（1，+∞）为增函数．
又因为函数g（x）在区间[e-1，e]上有两个零点，
所以
所以b的取值范围是
解析
解：（1）函数y=f（x）的导数为f′（x）=-
∵曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线与直线y=x+2垂直，
∴切线的斜率为-1，
∴f′（1）=-2+a=-1，∴a=1；
（2）由（1）知，f（x）=
则
由g′（x）＞0解得x＞1；由g′（x）＜0解得0＜x＜1．
所以函数g（x）在区间（0，1）为减函数，在区间（1，+∞）为增函数．
又因为函数g（x）在区间[e-1，e]上有两个零点，
所以
所以b的取值范围是
已知函数f（x）=
正确答案
解：f′（x）=x2-4，
令f′（x）=0，解得x=±2，
∴f（x）的极大值为：f（-2）=
解析
解：f′（x）=x2-4，
令f′（x）=0，解得x=±2，
∴f（x）的极大值为：f（-2）=
已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c（x∈[-1，2]），且函数f（x）在x=1和x=-
（1）求实数a，b的值；
（2）求函数f（x）的极值；
（3）若对任意x∈[-1，1]，f（x）＜c2，恒成立，求实数c的取值范围．
正确答案
解：（1）f‘（x）=3x2+2ax+b
由题意可知
（2）由（1）知f'（x）=3x2-x-2=（3x+2）（x-1），
∵f（2）=2+c，
∴x∈[-1，2]时，f（x）的最大值为f（2）=2+c；
（3）∵对于任意的x∈[-1，1]，f（x）＜c2恒成立，
∴只需c2＞2+c，
∴c＜-1或c＞2．
解析
解：（1）f‘（x）=3x2+2ax+b
由题意可知
（2）由（1）知f'（x）=3x2-x-2=（3x+2）（x-1），
∵f（2）=2+c，
∴x∈[-1，2]时，f（x）的最大值为f（2）=2+c；
（3）∵对于任意的x∈[-1，1]，f（x）＜c2恒成立，
∴只需c2＞2+c，
∴c＜-1或c＞2．
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