热门试卷

解：（1）∵f（x）=xe-x，∴f′（x）=x（e-x）′+x′e-x=e-x（-x+1）

∴f′（1）=0，f（1）=

即函数f（x）图象在x=1处的切线斜率为0

∴图象在x=1处的切线方程为y=

（2）求导函数，f′（x）=（1-x）e-x，令f′（x）=0，解得x=1

由f′（x）＞0，可得x＜1；由f′（x）＜0，可得x＞1

∴函数在（-∞，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数

∴函数在x=1时取得极大值f（1）=．

解；（Ⅰ）当a=0时，f（x）=x2lnx，

f（1）=0，f（e）=e2＞e（e-1），猜想f（x）≥x（x-1），下面证明

f（x）-x（x-1）=x2lnx-x（x-1）≥0，⇔，定义域为（0，+∞）

令g（x）=，g′（x）==

∴g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，

∴g（x）≥g（1）=0，即f（x）≥x（x-1）；

（Ⅱ）f′（x）=，令h（x）=

∴＞0，即h（x）在（0，+∞）上单调递增，

又h（a）=2lna＜0，h（1）=1-a＞0，存在唯一x0∈（a，1），使h（x0）=0，

当0＜x＜x0时，h（x）＜0，当x＞x0时，h（x）＞0

于是0＜x＜a时，f′（x）＞0；a＜x＜x0时，f′（x）＜0，x＞x0时，f′（x）＞0

即f（x）在（0，a）上单调递增，在（a，x0）上递减，在（x0，+∞）上单调递增，从而在（x0，1）上单调递增，

故f（x）在（a，1）上唯一极小值点．