热门试卷

解：（Ⅰ）函数f（x）=x3+ax2+bx+c的图象经过原点，则c=0…（1分）

所以f（x）=x3+ax2+bxf‘（x）=3x2+2ax+b，…（2分）

与是f'（x）=0的两个根

则，得a=-3…（3分）

，得b=2…（4分）

（II）由（Ⅰ）得f（x）=x3-3x2+2x．

依题意，方程x（x2-3x+2-m）=0有三个互不相同的实根0、x1、x2，…（5分）

故x1、x2是方程x2-3x+2-m=0的两相异的实根．

所以△=9-4（2-m）＞0，即．…（6分）

又对任意的x∈[x1，x2]，f（x）＜m（x-1）成立．

特别地，取x=x1时，f（x1）-mx1＜-m成立，得m＜0．…（7分）

由韦达定理，可得x1+x2=3＞0，x1x2=2-m＞0，故…（8分）

对任意的x∈[x1，x2]，有x-x2≤0，x-x1≥0，x＞0．…（9分）

则f（x）-mx=x（x-x1）（x-x2）≤0．

又f（x1）-mx1=0，…（10分）

所以函数f（x）-mx在x∈[x1，x2]的最大值为0．

于是当m＜0时，对任意的x∈[x1，x2]，f（x）＜m（x-1）恒成立．…（11分）

综上，m的取值范围是．…（12分）

解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（-2，+∞），

因为f′（x）=2[（x+2）-]=，

所以 当-2＜x＜-1时，f′（x）＜0；

当x＞-1时，f′（x）＞0．

故f（x）的单调递增区间是（-1，+∞）；

f（x）的单调递减区间是（-2，-1）（注：-1处写成“闭的”亦可）

（Ⅱ）由f（x）=x2+3x+a得：x-a+4-2ln（2+x）=0，

设g（x）=x-a+4-2ln（2+x），求导数得g′（x）=1-=

在区间[-1，1]上加以讨论：

当-1＜x＜0时，g′（x）＜0，而当0＜x＜1时，g′（x）＞0，

故g（x）在[-1，0]上递减，在[0，1]上递增，

要使方程f（x）=x2+3x+a在区间[-1，-1]上只有一个实数根，

则必须且只需g（0）=0，或或

接下来分类：

①当g（0）=0时，解之得a=4-2ln2；

②当时，

解之得a∈φ

③当时，

解之得a∈（5-2ln3，3]

综上所述，得a=4-2ln2，或a∈（5-2ln3，3]

所以实数a的取值范围（5-2ln3，3]∪{4-2ln2}．