- 函数的极值与导数的关系
- 共7619题
若函数f（x）=x3+x2-ax-4在区间（-1，1）恰有一个极值点，则实数a的取值范围为______．
正确答案
[1，5）
解析
解：由题意，f′（x）=3x2+2x-a，
则f′（-1）f′（1）＜0，
即（1-a）（5-a）＜0，
解得1＜a＜5，
另外，当a=1时，函数f（x）=x3+x2-x-4在区间（-1，1）恰有一个极值点，
当a=5时，函数f（x）=x3+x2-5x-4在区间（-1，1）没有一个极值点，
故答案为：[1，5）．
已知φ（x）=x（x-m）2在x=1处取得极小值，且函数f（x），g（x）满足f（5）=2，f′（5）=3m，g（5）=4，g′（5）=m，则函数F（x）=
正确答案
解析
解：∵φ′（x）=（x-m）2+2x（x-m）=（3x-m）（x-m），
又∵φ（x）=x（x-m）2在x=1处取得极小值，
∴m=1，（m=3时x=1处取得极大值）；
故f′（5）=3，g′（5）=1，
故F（5）=
F′（5）=
=
故函数F（x）=
y-1=
即x-2y-3=0；
故选C．
（2015秋•安阳校级期末）函数f（x）=x3-3x2+3x的极值点的个数是（ ）
正确答案
解析
解：由题知f（x）的导函数
f‘（x）=3x2-6x+3=3（x-1）2的值恒大于或等于零，
所以函数f（x）单调递增，
故选 A．
已知函数f（x）=
（1）求函数f（x）的单调区间与极值；
（2）若函数f（x）的图象与函数g（x）=1的图象在区间（0，e2]上有两个公共点，求实数a的取值范围；
（3）当-2＜a＜-1时，若函数f（x）在区间（m，e2）（其中m＞0）上恒有一个零点，求实数m的最大值．
正确答案
解：（1）函数f（x）=
f′（x）=
令f′（x）=
故f（x）在（0，e1-a）上是增函数，在（e1-a，+∞）上是减函数；
故f（x）极大值=f（e1-a）=ea-1；无极小值．
（2）（i）当e1-a＜e2，即a＞-1时，
f（x）在（0，e1-a）上是增函数，在（e1-a，e2]上是减函数；
f（x）max=f（e1-a）=ea-1；f（e-a）=0，f（e2）=
故
故1＜a≤e2-2；
（ii）当e1-a≥e2，即a≤-1时，
f（x）在（0，e2]上是增函数；
故函数f（x）的图象与函数g（x）=1的图象在区间（0，e2]上至多有一个公共点，故不满足；
综上所述，实数a的取值范围是（1，e2-2]；
（3）由（2）知，当-2＜a＜-1时，函数f（x）在区间（m，e2）上单调递增；
又f（e2）=
故f（m）=
即lnm＜-a对-2＜a＜-1恒成立；
故lnm≤1；
故m≤e，
即m的最大值为e．
解析
解：（1）函数f（x）=
f′（x）=
令f′（x）=
故f（x）在（0，e1-a）上是增函数，在（e1-a，+∞）上是减函数；
故f（x）极大值=f（e1-a）=ea-1；无极小值．
（2）（i）当e1-a＜e2，即a＞-1时，
f（x）在（0，e1-a）上是增函数，在（e1-a，e2]上是减函数；
f（x）max=f（e1-a）=ea-1；f（e-a）=0，f（e2）=
故
故1＜a≤e2-2；
（ii）当e1-a≥e2，即a≤-1时，
f（x）在（0，e2]上是增函数；
故函数f（x）的图象与函数g（x）=1的图象在区间（0，e2]上至多有一个公共点，故不满足；
综上所述，实数a的取值范围是（1，e2-2]；
（3）由（2）知，当-2＜a＜-1时，函数f（x）在区间（m，e2）上单调递增；
又f（e2）=
故f（m）=
即lnm＜-a对-2＜a＜-1恒成立；
故lnm≤1；
故m≤e，
即m的最大值为e．
已知函数
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间（m，2m+1）上是单调函数，求实数m的取值范围．
正确答案
解：求导，
又f（x）在x=1处取得极值2，
所以
解得
所以
（Ⅱ）因为
又f（x）的定义域是R，所以由f‘（x）＞0，
得-1＜x＜1．所以f（x）在[-1，1]上单调递增，
在（-∞，-1]和[1，+∞）上单调递减．
（1） 当f（x）在区间（m，2m+1）上单调递增，
则
（2）当f（x）在区间（m，2m+1）上单调递减，
则
综上，实数m的取值范围是-1＜m≤0或m≥1．
解析
解：求导，
又f（x）在x=1处取得极值2，
所以
解得
所以
（Ⅱ）因为
又f（x）的定义域是R，所以由f‘（x）＞0，
得-1＜x＜1．所以f（x）在[-1，1]上单调递增，
在（-∞，-1]和[1，+∞）上单调递减．
（1） 当f（x）在区间（m，2m+1）上单调递增，
则
（2）当f（x）在区间（m，2m+1）上单调递减，
则
综上，实数m的取值范围是-1＜m≤0或m≥1．
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