函数的极值与导数的关系
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题型：简答题

简答题

已知x=1是函数f（x）=mx3-3（m+1）x2+nx+1的一个极值点，其中m，n∈R，m＜0，

（1）求m与n的关系式；

（2）求f（x）的单调区间；

（3）若m＜-4，求证：函数y=f（x）的图象与x轴只有一个交点．

正确答案

解：（1）f′（x）=3mx2-6（m+1）x+n因为x=1是函数f（x）的一个极值点，所以f′（1）=0，即3m-6（m+1）+n=0，所以n=3m+6

（2）由（I）知，f′（x）=3mx2-6（m+1）x+3m+6=

当m＜0时，有，当x变化时，f（x）与f′（x）的变化如下表：

故有上表知，当m＜0时，f（x）在单调递减，在单调递增，在（1，+∞）上单调递减．

（3）证明：f（1）=m+4，当x＜-4时，f（1）＜0，

则函数f（x）的图象在上和x轴没有交点，在上单调递减，

与x轴有一个交点，综上所述，若m＜-4，函数y=f（x）的图象与x轴只有一个交点．

解析

解：（1）f′（x）=3mx2-6（m+1）x+n因为x=1是函数f（x）的一个极值点，所以f′（1）=0，即3m-6（m+1）+n=0，所以n=3m+6

（2）由（I）知，f′（x）=3mx2-6（m+1）x+3m+6=

当m＜0时，有，当x变化时，f（x）与f′（x）的变化如下表：

故有上表知，当m＜0时，f（x）在单调递减，在单调递增，在（1，+∞）上单调递减．

（3）证明：f（1）=m+4，当x＜-4时，f（1）＜0，

则函数f（x）的图象在上和x轴没有交点，在上单调递减，

与x轴有一个交点，综上所述，若m＜-4，函数y=f（x）的图象与x轴只有一个交点．

题型：单选题

单选题

已知函数，若关于x的方程f2（x）-mf（x）+m-1=0恰好有4个不相等的实数根，则实数m的取值范围为（　　）

正确答案

解析

解：化简可得f（x）=，

当x＞0时，f（x）≥0，f′（x）===，

当0＜x＜时，f′（x）＞0，当x＞时，f′（x）＜0，

故当x=时，函数f（x）有极大值f（）====；

当x＜0时，f′（x）==＜0，f（x）为减函数，

作出函数f（x）对应的图象如图：

∴函数f（x）在（0，+∞）上有一个最大值为f（）=；

设t=f（x），

当t＞时，方程t=f（x）有1个解，

当t=时，方程t=f（x）有2个解，

当0＜t＜时，方程t=f（x）有3个解，

当t=0时，方程t=f（x）有1个解，

当t＜0时，方程m=f（x）有0个解，

则方程f2（x）-mf（x）+m-1=0等价为t2-mt+m-1=0，

等价为方程t2-mt+m-1=（t-1）[t-（m-1）]=0有两个不同的根t=1，或t=m-1，

当t=1时，方程t=f（x）有1个解，

要使关于x的方程f2（x）-mf（x）+m-1=0恰好有4个不相等的实数根，

则t=m-1∈（0，），

即0＜m-1＜，解得1＜m＜+1，

则m的取值范围是（1，+1）

故选：A

题型：简答题

简答题

已知函数f（x）=x-alnx（a∈R）

（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程．

（2）求f（x）的极值．

正确答案

解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=1-．

（1）当a=2时，f（x）=x-2lnx，f′（x）=1-（x＞0），

因而f（1）=1，f′（1）=-1，

所以曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程为y-1=-（x-1），

即x+y-2=0

（2）由f′（x）=1-=，x＞0知：

①当a≤0时，f′（x）＞0，函数f（x）为（0，+∞）上的增函数，函数f（x）无极值；

②当a＞0时，由f′（x）=0，解得x=a．

又当x∈（0，a）时，f′（x）＜0，当x∈（a，+∞）时，f′（x）＞0．

从而函数f（x）在x=a处取得极小值，且极小值为f（a）=a-alna，无极大值．

综上，当a≤0时，函数f（x）无极值；

当a＞0时，函数f（x）在x=a处取得极小值a-alna，无极大值．

解析

解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=1-．

（1）当a=2时，f（x）=x-2lnx，f′（x）=1-（x＞0），

因而f（1）=1，f′（1）=-1，

所以曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程为y-1=-（x-1），

即x+y-2=0

（2）由f′（x）=1-=，x＞0知：

①当a≤0时，f′（x）＞0，函数f（x）为（0，+∞）上的增函数，函数f（x）无极值；

②当a＞0时，由f′（x）=0，解得x=a．

又当x∈（0，a）时，f′（x）＜0，当x∈（a，+∞）时，f′（x）＞0．

从而函数f（x）在x=a处取得极小值，且极小值为f（a）=a-alna，无极大值．

综上，当a≤0时，函数f（x）无极值；

当a＞0时，函数f（x）在x=a处取得极小值a-alna，无极大值．

题型：填空题

填空题

已知曲线C1：y=ax3-6x2+12x（a≠0）与曲线C2：y=ex．若曲线C1有极值，则a的范围是______；若曲线C1和C2在x=1处的两条切线互相垂直，则实数a的值为______．

正确答案

a＜1且a≠0

-．

解析

解：①由y=ax3-6x2+12x，得y′=3ax2-12x+12，

若曲线C1有极值，则3ax2-12x+12=0有两个不相等的实数根，（a≠0），

∴△=144-4•3a•12＞0，解得：a＜1；

②由y=ax3-6x2+12x，得y′=3ax2-12x+12，

∴y′|x=1=3a，

由y=ex，得y′=ex，

∴y′|x=1=e．

∵曲线C1：y=ax3-6x2+12x与曲线C2：y=ex在x=1处的切线互相垂直，

∴3a•e=-1，解得：a=-．

故答案为：a＜1且a≠0，-．

题型：简答题

简答题

已知函数在x=1处取得极值2．

（1）求函数f（x）的表达式；

（2）当m满足什么条件时，函数f（x）在区间（m，2m+1）上单调递增？

（3）若P（x0，y0）为图象上任意一点，直线l与的图象切于点P，求直线l的斜率k的取值范围．

正确答案

解：（1）因，

而函数在x=1处取得极值2，

所以⇒⇒

所以；

（2）由（1）知，

如图，f（x）的单调增区间是[-1，1]，

所以，⇒-1＜m≤0，

所以当m∈（-1，0]时，函数f（x）在区间（m，2m+1）上单调递增．

（3）由条件知，过f（x）的图形上一点P的切线l的斜率k为：=

令，则t∈（0，1]，此时，

根据二次函数的图象性质知：

当时，kmin=，当t=1时，kmax=4

所以，直线l的斜率k的取值范围是．

解析

解：（1）因，

而函数在x=1处取得极值2，

所以⇒⇒

所以；

（2）由（1）知，

如图，f（x）的单调增区间是[-1，1]，

所以，⇒-1＜m≤0，

所以当m∈（-1，0]时，函数f（x）在区间（m，2m+1）上单调递增．

（3）由条件知，过f（x）的图形上一点P的切线l的斜率k为：=

令，则t∈（0，1]，此时，

根据二次函数的图象性质知：

当时，kmin=，当t=1时，kmax=4

所以，直线l的斜率k的取值范围是．

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