热门试卷

解：（1）∵f（x）=x3-x2+bx+c，

∴f′（x）=3x2-x+b，

∵x=1是方程3x2-x+b=0的一个根，

设另一个根是x0，则，

∴x0=-，b=-2；

（2）由（1）知，f（x）=x3-x2-2x+c，

∴f′（x）=3x2-x-2=（3x+2）（x-1），

令f′（x）=0，解得x1=-，x2=1；

列表如下：

由表格知，f（x）取得极大值f（-）=+c，

又f（2）=2+c，

∴当x=2时，函数取得最大值f（x）max=2+c；

∴2+c＜c2，

解得c＜-1或c＞2，

∴c的取值范围是（-∞，-1）∪（2，+∞）．

解：（1）g‘（x）=2bx+c在x=1处的切线为y=2x，所以g'（1）=2，又在x=1处y=2，所以g（1）=2．

故可得所以g（x）=x2+1．

（2）当a=-1时，f（x）=x2-x-lnx+1，定义域为（0，+∞）

f'（x）=2x-1-=

由表格可知，当x=1时，函数f（x）有极小值f（x）极小值=f（1）=1

（3）因为f（x）=x2+ax-lnx+1，g（x）=x2+1

所以h（x）=f（x）-g（x）=x2+ax-lnx+1-（x2+1）=ax-lnx，

假设存在实数a，使得h（x）=ax-lnx（x∈（0，e]）有最小值3，h'（x）=a-，

①当a≤0时，h'（x）＜0，所以h（x）在（0，e]上单调递减，h（x）min=h（e）=ae-1=3，a=（舍去）；

②当a＞0时，h'（x）=

1°，当时，，h'（x）＜0在（0，e]上恒成立．

所以h（x）在（0，e]上单调递减，h（x）min=h（e）=ae-1=3，a=（舍去）；

2°，当时，，当时，h'（x）＜0，所以h（x）在（）上递减，

当时，h'（x）＞0，h（x）在（）上递增，

所以h（x）min=h（）=1+lna=3，a=e2，满足条件；

综上可知，存在a=e2使得x∈（0，e]时h（x）有最小值3．

解：（1）由函数f（x）=（x2-2x+a）•ex，得f′（x）=（x2+a-2）ex．

∵函数f（x）图象在（0，f（0））处切线的斜率为-1，

∴f′（0）=a-2=-1⇒a=1；

（2）由f′（x）=（x2-1）ex＜0，得-1＜x＜1．

由f′（x）=（x2-1）ex＞0，得x＜-1或x＞1．

∴f（x）的单调增区间为（-∞，1），（1，+∞），单调减区间为（-1，1），

∴f（x）极大=f（-1）=4e-1，f（x）极小=f（1）=0．

解：（1）由题意得f‘（x）=3ax2-12ax+3b，f'（2）=-3且f（2）=5，

∴即解得a=1，b=3，

∴f（x）=x3-6x2+9x+3． （6分）

（2）由f（x）=x3-6x2+9x+3，可得f'（x）=3x2-12x+9，=x2+x+3+m，

则由题意可得x3-6x2+9x+3=x2+x+3+m有三个不相等的实根，

即g（x）=x3-7x2+8x-m的图象与x轴有三个不同的交点，g'（x）=3x2-14x+8=（3x-2）（x-4），则g（x），g'（x）的变化情况如下表．

则函数f（x）的极大值为，极小值为g（4）=-16-m．y=f（x）的图象与的图象有三个不同交点，则有：解得．（12分）