热门试卷

解：（Ⅰ）函数f′（x）=ex（x2-2ax-2a）+ex（2x-2a）

=ex（x2-2ax+2x-4a）=ex（x+2）（x-2a）．

∵x=2时，函数f（x）取得极值，

∴f′（2）=0，

∴a=1；

（Ⅱ）∵，

∴若f（x）=g（x），

则=ex（x2-2ax-2a）．

即-x3+x2-6a=x2-2ax-2a．

即x3-2ax+4a=0，

设g（x）=x3-2ax+4a，

则g′（x）=x2-2a，

若a≤0，此时函数g（x）单调递增，则g（x）=x3-2ax+4a只有一个零点，即方程f（x）=g（x）的实数根的个数为1个，

若a＞0，由g′（x）=x2-2a=0，得x=±，

此时函数的极小值为g（）=a（4-），

极大值为g（-）═a（4+），

∵a＞0，∴极大值为g（-）=a（4+）＞0，

①若极小值为g（）=a（4-）＞0，即0＜a＜，此时方程x3-2ax+4a=0只有一个根，

即方程f（x）=g（x）的实数根的个数为1个．

②若极小值为g（）=a（4-）=0，即a=，此时方程x3-2ax+4a=0有2个根，

即方程f（x）=g（x）的实数根的个数为2个．

③若极小值为g（）=a（4-）＜0，即a＞，此时方程x3-2ax+4a=0有3个根，

即方程f（x）=g（x）的实数根的个数为3个．

解：（I）∵f（x）=x+alnx，∴x＞0，，

∴当a≥0时，在x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，

∴f（x）的单调增区间是（0，+∞），没的减区间；

当a＜0时，函数f（x）与f′（x）在定义域上的情况如下：

函数的增区间是（-a，+∞），减区间是（0，a）．

（II）由（I）可知

当a＞0时，（0，+∞）是函数f（x）的单调增区间，且有f（e）=-1＜1-1=0，f（1）=1＞0，

所以，此时函数有零点，不符合题意；

当a=0时，函数f（x）在定义域（0，+∞）上没零点；

当a＜0时，f（-a）是函数f（x）的极小值，也是函数f（x）的最小值，

所以，当f（-a）=a[ln（-a）-1]＞0，即a＞-e时，函数f（x）没有零点，

综上所述，当-e＜a≤0时，f（x）没有零点．

解；（1）f（x）=x3+ax2+bx+c，f‘（x）=3x2+2ax+b

由解得，

f'（x）=3x2-x-2=（3x+2）（x-1），函数f（x）的单调区间如下表：

所以函数f（x）的递增区间是（-∞，-）和（1，+∞），递减区间是（-，1）．

（2），

当x=-时，f（x）=+c为极大值，而f（2）=2+c，所以f（2）=2+c为最大值．

要使f（x）＜c2对x∈[-1，2]恒成立，须且只需c2＞f（2）=2+c．

解得c＜-1或c＞2．

解：（1）∵f′（x）=x2-ax-2a2，令f′（x）=x2-ax-2a2=0，则  x=-a或x=2a

f′（x）=x2-ax-2a2＞0时，x＜-a或x＞2a

x=-a时，f（x）取得极大值f（-a）=，x=2a时，f（x）取极小值

f（2a）=

（2）要使函数y=f（x）的图象与值线y=0恰有三个交点，则函数y=f（x）的极大值大于零，极小值小于零，由（1）的极值可得解之得

（3）要使f′（x）＜x2-x+1对任意a∈（1，+∞）都成立

即x2-ax-2a2＜x2-x+1，

（1-a）x＜2a2+1

∵a∈（1，+∞）∴1-a＜0

对任意a∈（1，+∞）都成立，则x大于的最大值

∵

由a∈（1，+∞），，

当且仅当时取等号，∴

故