热门试卷

解：（1）f′（x）=+2ax-2a，（x＞0），

∵f′（2）=0，∴a=-；

∴f′（x）=-x+=-，

当x∈（0，2）时，f′（x）＞0，f（x）是增函数，x∈（2，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）是减函数，

∴该极值是最大值；

（2）由已知，即不等式lnx+a（x-1）2-x+1＞0（*），对于x＞1恒成立，

设φ（x）=lnx+a（x-1）2-x+1＞0（x＞0），φ′（x）=+2ax-2a-1=；

（i）当a=0时，φ′（x）=-＜0，φ（x）在（1，+∞）上是减函数，φ（x）＜φ（0）=0，

∴（*）不等式不能成立；

（ii）当a＜0时，φ′（x）=，

∵＜0，∴φ′（x）＜0，φ（x）在（1，+∞）上是减函数，

φ（x）＜φ（1）=0，∴（*）不等式也不能成立；

（iii）当a＞0时，φ′（x）=；

①若≤1，即a≥，则φ′（x）＞0，φ（x）在（1，+∞）上是增函数，φ（x）＞φ（1）=0

∴（*）不等式成立；

②若＞1，即a∈（0，），则当x∈（1，）时，φ′（x）＜0

φ（x）在（1，）上是减函数，此时有φ（）＜φ（1）=0，（*）不等式不恒成立；

综上，a的取值范围是{a|a≥}．

解：令f′（x）=3x2-3=0解得，

x=1或x=-1，

∵函数f（x）=x3-3x+c的图象与x轴恰好有三个不同的公共点，

∴f（1）f（-1）＜0，

即（c-2）（c+2）＜0，

则-2＜c＜2，

故答案为：（-2，2）．

解：（Ⅰ）

∵函数 f（x）在x=2处有极值∴

∴m=-2，经检验m=-2符合题意．∴m=-2．

（Ⅱ）∵==

∴（1）当-1＜m≤0时，若x∈（0，-m）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数；

当x∈（-m，1）时，f‘（x）＜0，f（x）为减函数；

当x∈（1，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）为增函数．

（2）当m=-1时，，f（x）在（0，+∞）上为增函数．

（3）当m＜-1即-m＞1时，x∈（0，1）时，f'（x）＞0，f（x）为增函数；

当x∈（1，-m）时，f'（x）＜0，f（x）为减函数；

当x∈（-m，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）为增函数．

（Ⅲ）当m=-2时，函数f（x）=x2+2lnx-3x．

构造辅助函数g（x）=f（x）+x，并求导得

g'（x）=x+-2==

∴g'（x）＞0，g（x）为增函数．

∴对任意0＜x1＜x2，都有g（x1）＜g（x2）成立，

即f（x1）+x1＜f（x2）+x2．

即f（x1）-f（x2）＞x1-x2．

又∵x1-x2＜0，

∴（14分）

解：（1）f（x）=x3+2x2+x，则f‘（x）=3x2+4x+1（1分）

令f'（x）=0解得：，（2分）

∴f（x）的极大值为f（-1）=0，极小值为（4分）

（2）若最大值b与最小值a均在端点处取得，则有或（5分）

①当时，则a，b即为方程f（x）=x的解，解得x1=0，x2=-2．

当-2≤x≤0时，-2≤f（x）≤0，检验知符合题意（6分）

②当时，则有

相减得：（a-b）[a2+（b+2）a+（b2+2b+2）]=0．

又a≠b，而方程a2+（b+2）a+（b2+2b+2）=0中，方程无解，故此时a，b不存在．

（8分）

若最大值b在区间（a，b）内取得，则b必为f（x）的极大值0，但b=0时f（b）=b，矛盾．

若最小值a在区间（a，b）内取得，则a必为f（x）的极小值，但f（x）在区间上单调递增，必有f（a）=a，矛盾．

综上得：a=-2，b=0（10分）

（3）易知k＞0，．

若f（a）=ka，则a（1+a）2=ka即k=（1+a）2，而此时．

当时，，此时k有最小值为．

当时，，此时k有最小值（12分）

若最小值ka在区间（a，0）内取得，则ka必为f（x）的极小值，即，而此时，∴．

综上得：k的最小值为，此时（14分）