- 函数的极值与导数的关系
- 共7619题
已知函数f（x）=lnx-
（1）若a=1，求函数f（x）的极值；
（2）若f（x）在[1，+∞）内为单调增函数，求实数a的取值范围；
（3）对于n∈N*，求证：
正确答案
解：f′（x）=
（1）若a=1，f′（x）=
令f′（x）＞0解得x＞1，
令f′（x）＜0解得0＜x＜1，
∴f极小（x）=f（1）=0，无极大值；
（2）∵f（x）在[1，+∞）内为单调增函数，
∴f′（x）=
即x2+ax-2a≥0在[1，+∞）上恒成立．
令g（x）=x2+ax-2a，
当-
g（1）≥0，从而得a≤1，
∴-2≤a≤1，
当-
g（-
解得，-8≤a≤0，
综上所述，a∈[-8，1]；
（3）证明：当a=1时，由（2）知，f（x）在[1，+∞）上单调递增；
即x＞1时，f（x）＞f（1）=0，
即lnx＞
取x=
∴ln
∴
解析
解：f′（x）=
（1）若a=1，f′（x）=
令f′（x）＞0解得x＞1，
令f′（x）＜0解得0＜x＜1，
∴f极小（x）=f（1）=0，无极大值；
（2）∵f（x）在[1，+∞）内为单调增函数，
∴f′（x）=
即x2+ax-2a≥0在[1，+∞）上恒成立．
令g（x）=x2+ax-2a，
当-
g（1）≥0，从而得a≤1，
∴-2≤a≤1，
当-
g（-
解得，-8≤a≤0，
综上所述，a∈[-8，1]；
（3）证明：当a=1时，由（2）知，f（x）在[1，+∞）上单调递增；
即x＞1时，f（x）＞f（1）=0，
即lnx＞
取x=
∴ln
∴
已知函数f（x）=x3-3x2，给出下列命题：
（1）f（x）是增函数，无极值；
（2）f（x）是减函数，无极值；
（3）f（x）的递增区间是（-∞，0），（2，+∞）；
（4）f（0）=0是极大值，f（2）=-4是极小值．
其中正确命题是______（注：把你认为正确命题的序号都填上）
正确答案
（3）（4）
解析
解：∵f′（x）=3x2-6x，由f′（x）≥0得x≥2或x≤0，f′（x）≤0得0≤x≤2，
∴f（x）的增区间为（-∞，0]及[2，+∞），减区间为[0，2]，所以（3）正确；
f（0）=0 是极大值，f（2）=-4是极小值，（4）正确；
而（1）（2）均错误．
故答案为（3）（4）．
函数y=x-sinx，x∈[
正确答案
解析
解：∵y=x在[
y=-sinx在[
∴y=x-sinx在[
即最大值为f（π）=π，
故答案为π．
故选C．
已知函数f（x）=12lnx+3x2-18x+8a．
（1）若a=2，求f（x）的极大值和极小值；
（2）若对任意的x∈（0，4]，f（x）＜4a恒成立，求a的取值范围．
正确答案
解：（1）函数f（x）=12lnx+3x2-18x+8a的导数为f′（x）=
=
当x＞2或0＜x＜1时，f′（x）＞0，f（x）在（0，1），（2，+∞）递增；
当1＜x＜2时，f′（x）＜0，f（x）在（1，2）递减．
即有f（x）在x=1处取得极大值，且为1，
在x=2处取得极小值，且为12ln2-8；
（2）对任意的x∈（0，4]，f（x）＜4a恒成立，
即为对任意的x∈（0，4]，f（x）max＜4a．
由f（x）在（0，1），（2，4）递增，在（1，2）递减，
又f（1）=8a-15，f（2）=12ln2-24+8a，f（4）=12ln4-24+8a，
即有f（4）为最大值，
则4a＞12ln4-24+8a，
解得a＜6-3ln4．
则a的取值范围是（-∞，6-3ln4）．
解析
解：（1）函数f（x）=12lnx+3x2-18x+8a的导数为f′（x）=
=
当x＞2或0＜x＜1时，f′（x）＞0，f（x）在（0，1），（2，+∞）递增；
当1＜x＜2时，f′（x）＜0，f（x）在（1，2）递减．
即有f（x）在x=1处取得极大值，且为1，
在x=2处取得极小值，且为12ln2-8；
（2）对任意的x∈（0，4]，f（x）＜4a恒成立，
即为对任意的x∈（0，4]，f（x）max＜4a．
由f（x）在（0，1），（2，4）递增，在（1，2）递减，
又f（1）=8a-15，f（2）=12ln2-24+8a，f（4）=12ln4-24+8a，
即有f（4）为最大值，
则4a＞12ln4-24+8a，
解得a＜6-3ln4．
则a的取值范围是（-∞，6-3ln4）．
已知函数f（x）=ax+lnx，a∈R
（Ⅰ）求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）对于曲线上的不同两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），如果存在曲线上的点Q（x0，y0），且x1＜x0＜x2，使得曲线在点Q处的切线ℓ∥P1P2，则称ℓ为弦P1P2的伴随切线．特别地，当x0=λx1+（1-λ）x2（0＜λ＜1）时，又称ℓ为P1P2的λ-伴随切线．
（ⅰ）求证：曲线y=f（x）的任意一条弦均有伴随切线，并且伴随切线是唯一的；
（ⅱ）是否存在曲线C，使得曲线C的任意一条弦均有
正确答案
解：（Ⅰ）
当a≥0（0，+∞），f‘（x）＞0，函数f（x）在内是增函数，
∴函数f（x）没有极值．（3分）
当a＜0时，令f'（x）=0，得
当x变化时，f'（x）与f（x）变化情况如下表：
∴当
综上，当a≥0时，f（x）没有极值；
当a＜0时，f（x）的极大值为
（Ⅱ）（ⅰ）设P1（x1，f（x1）），P2（x2，f（x2））是曲线y=f（x）上的任意两点，
要证明P1，P2有伴随切线，只需证明存在点Q（x0，f（x0）），x1＜x0＜x2，
使得
∵
即x0lnx2-x0lnx1+x1-x2=0成立，且点Q不在P1P2上．（8分）
以下证明方程xlnx2-xlnx1+x1-x2=0在（x1，x2）内有解．
设F（x）=xlnx2-xlnx1+x1-x2，0＜x＜x2．
则F（x1）=x1lnx2-x1lnx1+x1-x2．
记g（x）=xlnx2-xlnx+x-x2，0＜x＜x2，
∴g'（x）=lnx2-lnx＞0，
∴g（x）在（0，x2）内是增函数，
∴F（x1）=g（x1）＜g（x2）=0．（9分）
同理F（x2）＞0．∴F（x1）F（x2）＜0．
∴方程xlnx2-xlnx1+x1-x2=0在（x1，x2）内有解x=x0．（10分）
又对于函数g（x）=xlnx2-xlnx+x-x2，
∵0＜x1＜x0＜x2，∴g（x0）=x0lnx2-x0lnx0+x0-x2＜g（x2）=0，
可知
又F（x）=（lnx2-lnx1）x+x1-x2在（x1，x2）内是增函数，
∴方程xlnx2-xlnx1+x1-x2=0在（x1，x2）内有唯一解．
综上，曲线y=f（x）上任意一条弦均有伴随切线，并且伴随切线是唯一的
（ii）取曲线C：y=h（x）=x2，则曲线y=h（x）的任意一条弦均有
设R（x3，y3），S（x4，y4），
则KRS=
又h'（x）=2x
所以
即y=x2的任意一条弦均有
解析
解：（Ⅰ）
当a≥0（0，+∞），f‘（x）＞0，函数f（x）在内是增函数，
∴函数f（x）没有极值．（3分）
当a＜0时，令f'（x）=0，得
当x变化时，f'（x）与f（x）变化情况如下表：
∴当
综上，当a≥0时，f（x）没有极值；
当a＜0时，f（x）的极大值为
（Ⅱ）（ⅰ）设P1（x1，f（x1）），P2（x2，f（x2））是曲线y=f（x）上的任意两点，
要证明P1，P2有伴随切线，只需证明存在点Q（x0，f（x0）），x1＜x0＜x2，
使得
∵
即x0lnx2-x0lnx1+x1-x2=0成立，且点Q不在P1P2上．（8分）
以下证明方程xlnx2-xlnx1+x1-x2=0在（x1，x2）内有解．
设F（x）=xlnx2-xlnx1+x1-x2，0＜x＜x2．
则F（x1）=x1lnx2-x1lnx1+x1-x2．
记g（x）=xlnx2-xlnx+x-x2，0＜x＜x2，
∴g'（x）=lnx2-lnx＞0，
∴g（x）在（0，x2）内是增函数，
∴F（x1）=g（x1）＜g（x2）=0．（9分）
同理F（x2）＞0．∴F（x1）F（x2）＜0．
∴方程xlnx2-xlnx1+x1-x2=0在（x1，x2）内有解x=x0．（10分）
又对于函数g（x）=xlnx2-xlnx+x-x2，
∵0＜x1＜x0＜x2，∴g（x0）=x0lnx2-x0lnx0+x0-x2＜g（x2）=0，
可知
又F（x）=（lnx2-lnx1）x+x1-x2在（x1，x2）内是增函数，
∴方程xlnx2-xlnx1+x1-x2=0在（x1，x2）内有唯一解．
综上，曲线y=f（x）上任意一条弦均有伴随切线，并且伴随切线是唯一的
（ii）取曲线C：y=h（x）=x2，则曲线y=h（x）的任意一条弦均有
设R（x3，y3），S（x4，y4），
则KRS=
又h'（x）=2x
所以
即y=x2的任意一条弦均有
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