- 函数的极值与导数的关系
- 共7619题
设f（x）=
（Ⅰ）讨论f（x）的奇偶性，并说明理由；
（Ⅱ）当a=2，求f（x）的极值．
正确答案
解：（Ⅰ）当a=0时，f（x）=-x2为偶函数当
当a≠0且a≠1时，∵f（-1）=-1，f（2）=2a-1．f（-1）+f（1）=2（a-1）≠0
∴f（x）不是奇函数f（-1）-f（1）=-2a≠0∴f（x）不是奇函数
故此时f（x）非奇非偶．
（Ⅱ）
列表如下：
故f（x）=
解析
解：（Ⅰ）当a=0时，f（x）=-x2为偶函数当
当a≠0且a≠1时，∵f（-1）=-1，f（2）=2a-1．f（-1）+f（1）=2（a-1）≠0
∴f（x）不是奇函数f（-1）-f（1）=-2a≠0∴f（x）不是奇函数
故此时f（x）非奇非偶．
（Ⅱ）
列表如下：
故f（x）=
设函数f（x）=1-xsinx在x=x0处取得极值，则（1+x02）（1+cos2x0）-1的值为（ ）
正确答案
解析
解：f′（x）=-sinx-xcosx；
∵f（x）在x=x0处取得极值；
∴f′（x0）=-sinx0-x0cosx0=0；
∴x0=-
∴（1+x02）（1+cos2x0）-1=（1+
故选：C．
已知函数f（x）的导数f′（x）=a（x+1）（x-a），若f（x）在x=a处取到极大值，则a的取值范围是______．
正确答案
（-1，0）
解析
解：（1）当a＞0时，
当-1＜x＜a时，f′（x）＜0，当x＞a时，f′（x）＞0，
则f（x）在x=a处取到极小值，不符合题意；
（2）当a=0时，函数f（x）无极值，不符合题意；
（3）当-1＜a＜0时，
当-1＜x＜a时，f′（x）＞0，当x＞a时，f′（x）＜0，
则f（x）在x=a处取到极大值，符合题意；
（4）当a=-1时，f′（x）≤0，函数f（x）无极值，不符合题意；
（5）当a＜-1时，
当x＜a时，f′（x）＜0，当a＜x＜-1时，f′（x）＞0，
则f（x）在x=a处取到极小值，不符合题意；
综上所述-1＜a＜0，
故答案为 （-1，0）．
已知f（x）与g（x）是定义在R上的连续函数，如果f（x）与g（x）仅当x=0时的函数值为0，且f（x）≥g（x），那么下列情形不可能出现的是（ ）
正确答案
解析
解析：根据题意和图形知
结合函数的图象分析：
由上述三个图可得A，B，D可能．
当0是f（x）的极大值时，不是g（x）的极值是不可能的，
选C．
设a为实数，函数f（x）=ex-2x+2a，x∈R．
（1）求f（x）的单调区间及极值；
（2）求证：当a＞ln2-1且x＞0时，ex＞x2-2ax+1．
正确答案
（1）解：∵f（x）=ex-2x+2a，x∈R，
∴f′（x）=ex-2，x∈R．
令f′（x）=0，得x=ln2．
于是当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：
故f（x）的单调递减区间是（-∞，ln2），
单调递增区间是（ln2，+∞），
f（x）在x=ln2处取得极小值，
极小值为f（ln2）=eln2-2ln2+2a=2（1-ln2+a），无极大值．
（2）证明：设g（x）=ex-x2+2ax-1，x∈R，
于是g′（x）=ex-2x+2a，x∈R．
由（1）知当a＞ln2-1时，
g′（x）最小值为g′（ln2）=2（1-ln2+a）＞0．
于是对任意x∈R，都有g′（x）＞0，所以g（x）在R内单调递增．
于是当a＞ln2-1时，对任意x∈（0，+∞），都有g（x）＞g（0）．
而g（0）=0，从而对任意x∈（0，+∞），g（x）＞0．
即ex-x2+2ax-1＞0，
故ex＞x2-2ax+1．
解析
（1）解：∵f（x）=ex-2x+2a，x∈R，
∴f′（x）=ex-2，x∈R．
令f′（x）=0，得x=ln2．
于是当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：
故f（x）的单调递减区间是（-∞，ln2），
单调递增区间是（ln2，+∞），
f（x）在x=ln2处取得极小值，
极小值为f（ln2）=eln2-2ln2+2a=2（1-ln2+a），无极大值．
（2）证明：设g（x）=ex-x2+2ax-1，x∈R，
于是g′（x）=ex-2x+2a，x∈R．
由（1）知当a＞ln2-1时，
g′（x）最小值为g′（ln2）=2（1-ln2+a）＞0．
于是对任意x∈R，都有g′（x）＞0，所以g（x）在R内单调递增．
于是当a＞ln2-1时，对任意x∈（0，+∞），都有g（x）＞g（0）．
而g（0）=0，从而对任意x∈（0，+∞），g（x）＞0．
即ex-x2+2ax-1＞0，
故ex＞x2-2ax+1．
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