热门试卷

解：（1）函数的定义域为（0，+∞）

∵f（x）=ax2+2x-lnx，当a=0时，f（x）=2x-lnx，则f′（x）=2-，

∴x，f‘（x），f（x）的变化情况如下表

∴当x=时，f（x）的极小值为1+ln2，函数无极大值．

（2）由已知，得f（x）=ax2+2x-lnx，且x＞0，

则f′（x）=ax+2-=，

若a=0，由f′（x）＞0得x＞，显然不合题意，

若a≠0，∵函数f（x）区间[，2]是增函数，

∴f′（x）≥0对x∈[，2]恒成立，即不等式ax2+2x-1≥0对x∈[，2]恒成立

即 a≥=-=（-1）2-1恒成立   故a≥[（-1）2-1]max，

而当x=，函数（-1）2-1的最大值为3，

∴实数a的取值范围为：[3，+∞）．

解：（Ⅰ）由题意，f（x）=x•x•（x-3）=x3-3x2，

f′（x）=3x2-6x=3x（x-2）；

则函数f（x）在x=2时有极小值，

故t＜2＜t+3，

解得，-1＜t＜2；

（Ⅱ）由题意，g（x）=lnx-

=lnx-λx2，

g′（x）=-2λx=，

故λ≤0时，g′（x）≥0，x∈[1，+∞）；

故g（x）在[1，+∞）上单调递增，

又∵g（1）=0-λ=-λ；

故g（x）≥-λ；

则当λ=0时，函数g（x）=lnx-λx2在[1，+∞）上有一个零点x=1；

当λ＜0时，函数g（x）=lnx-λx2在[1，+∞）上没有零点；

当0＜λ＜时，

解=0得，x=；

则函数g（x）=lnx-λx2在[1，）增函数，在[，+∞）上减函数；

g（1）=-λ＜0，g（）=-（ln2λ+1），x→+∞时，g（x）→-∞；

故当ln2λ+1=0，即λ=时，函数g（x）=lnx-λx2在[1，+∞）上有一个零点x=；

当ln2λ+1＜0，0＜λ＜时，函数g（x）=lnx-λx2在[1，+∞）上有两个零点；

当ln2λ+1＞0，＜λ＜时，函数g（x）=lnx-λx2在[1，+∞）上没有零点；

当λ≥时，g′（x）≤0，x∈[1，+∞）；

故g（x）在[1，+∞）上单调递减，

又∵g（1）=-λ＜0，

∴函数g（x）=lnx-λx2在[1，+∞）上没有零点；

综上所述，

当λ＜0或＜λ时，函数g（x）=lnx-λx2在[1，+∞）上没有零点；

当λ=0或λ=时，函数g（x）=lnx-λx2在[1，+∞）上有一个零点；

当0＜λ＜时，函数g（x）=lnx-λx2在[1，+∞）上有两个零点；

（Ⅲ）f（x）=x（x-a）（x-b），

f′（x）=3x2-2（a+b）x+ab，

则由题意可得，m，n是f‘（x）=0的两根，

则m+n=，mn=②；

∵直线OA与直线OB垂直，

∴m•n+f（m）•f（n）=0，

∴mn+mn（m-a）（m-b）（n-a）（n-b）=0，

又∵0＜a＜b，知mn≠0；

∴（m-a）（m-b）（n-a）（n-b）=-1，①

②代入①得：ab（a-b）2=9，

∴（a+b）2=（a-b）2+4ab=+4ab≥2=12，

（当且仅当ab=时取“=”）；

∴a+b≥2．