热门试卷

解：（1）由f（x）=x3-2x2+3a2x的导函数y=f‘（x）的图象可知：导函数f'（x）小于0的解集是（1，3）；

函数f（x）=x3-2x2+3a2x在x=1，x=3处取得极值，且在x=3的左侧导数为负右侧导数为正．

即函数在x=3处取得极小值，函数的单调减区间为（1，3）．

（2）由于f（x）=x3-2x2+3a2x的导函数f'（x）=ax2-4x+3a2，又由（1）知，f'（1）=0且f'（3）=0

则解得 a=1．

则实数a的值为1．

解：（Ⅰ）当a=b，f（x）=2ax-+lnx，

①当a=0时，f（x）=lnx，则f（x）在（0，+∞）上单调递增；

②当a＞0时，又x＞0，∴2ax2+x+a＞0，∴f′（x）＞0，则f（x）在（0，+∞）上单调递增．

③当a＜0时，设g（x）=2ax2+x+a，令△≤0解得a≤-．f（x）在（0，+∞）上单调递减．

综上得，a的取值范围是（-∞，-]∪[0，+∞）．

（Ⅱ）由于f（x）=2ax-+lnx，定义域为（0，+∞）∴f′（x）=2a++．

又f（x）在x=m，x=n处取得极值，f′（m）=f′（n）=0．

即所以

故f′（x）=-=-，

故f（x）在（0，m）上单调递减，在[m，n]上单调递增，在[n，2m]上单调递减．

所以f（m）是f（x）在（0，2n）上的极小值，f（n）是f（x）在（0，2n]上的极大值．

为使方程f（x）=c只有唯一解的c的取值范围为{x|x＜x0或s≤x＜t}，

只有可能s=f（2n），t=f（2m），f（m）＞f（2n），故只要求f（m）-f（2n）的最大值．

f（m）=lnm+，f（2n）=+ln2n．f（m）-f（2n）=+ln．

记m=kn（0＜k＜1），则f（m）-f（2n）=+ln．令g（k）=）=+ln．

则g′（k）=

当0＜k＜时，f′（x）＞0，故f（x）在[m，n]上单调递增；

当＜k≤1时，f′（x）＜0，故f（x）在[n，2n]上单调递减．

所以g（k）的最大值为g（）=-ln4．所以t-s的最大值为-ln4．

解：（Ⅰ）：因为函数f（x）=x2-4x+a+3的对称轴是x=2，

所以f（x）在区间[-1，1]上是减函数，

因为函数在区间[-1，1]上存在零点，

则必有：即，解得-8≤a≤0，

故所求实数a的取值范围为[-8，0]．

（Ⅱ）若对任意的x1∈[1，4]，总存在x2∈[1，4]，

使f（x1）=g（x2）成立，只需函数y=f（x）的值域为函数y=g（x）的值域的子集．

f（x）=x2-4x+3，x∈[1，4]的值域为[-1，3]，下求g（x）=mx+5-2m的值域．

①当m=0时，g（x）=5-2m为常数，不符合题意舍去；

②当m＞0时，g（x）的值域为[5-m，5+2m]，要使[-1，3]⊆[5-m，5+2m]，

需，解得m≥6；

③当m＜0时，g（x）的值域为[5+2m，5-m]，要使[-1，3]⊆[5+2m，5-m]，

需，解得m≤-3；

综上，m的取值范围为（-∞，-3]∪[6，+∞）．

解：（Ⅰ）∵f（x）=lnx+x2+mx，定义域为（0，+∞），

∴f，（x）=+2x+m；

当m=-3时，f，（x）=+2x+3，

令f，（x）=0，∴=0，即=0，解得x=或x=1；

则f‘（x），f（x）随x的变化情况如下表：

∴f（x）极大值=f（）=-ln2-，f（x）极小值=f（1）=-2；

（Ⅱ）函数f（x）在定义域内为增函数，∴x＞0时，f，（x）=+2x+m≥0恒成立，

∴m≥-（+2x）（其中x＞0）恒成立；

∵x＞0，∴+2x≥2（当且仅当x=时取等号），

∴-=-2，∴m≥-2；

∴实数m的取值范围是[-2，+∞）；

（Ⅲ）由（Ⅱ）知m=-1时，f（x）在（0，+∞）上为增函数，

△ABC的顶点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）在函数f（x）的图象上，

且x1＜x2＜x3，∴y1＜y2＜y3；

∴a2=|BC|2=+，

c2=|AB|2=+，

b2=|AC|2=+=+

=；

∴a2+c2＜b2