热门试卷

解：由题设知a≠0，f′（x）=3ax2-6x=3ax（x-），令f′（x）=0得x=0或x=．

当a＞0时，随x的变化，f′（x）与f（x）的变化如下表：

∴f（x）极大值=f（0）=1-，

f（x）极小值=f（）=--+1．

当a＜0时，随x的变化，f′（x）与f（x）的变化如下表：

∴f（x）极大值=f（0）=1-，

f（x）极小值=f（）=--+1．

总之，当a＞0时，f（x）极大值=f（0）=1-，

f（x）极小值=f（）=--+1；

当a＜0时，f（x）极大值=f（0）=1-，

f（x）极小值=f（）=--+1．

解：（1）f‘（x）=12x（x-a）（x-1）

0＜a＜1时，f'（x）＞0，0＜x＜a，或x＞1，

f（x）在[0，a]和[1，+∞]上递增；

a=1时，f'（x）≥0⇔x≥0，则f（x）在[0，+∞）上递增；

a＞1时f'（x）＞0⇔0＜x＜1或x＞a，f（x）在[0，1]，[a，+∞]上递增．

（2）a=2时，f′（x）=0得x=0，x=1，x=2，

∴f（x）在（-∞，0）上递减，在[0，1]上递增，

在[1，2]上递减，在[2，+∞）上递增

∴a=2时，f（x）有极大值-9．

解：（Ⅰ）F（x）=18f（x）-x2[h（x）]2=-x3+12x+9（x≥0）

所以F′（x）=-3x2+12=0，x=±2

且x∈（0，2）时，F′（x）＞0，当x∈（2，+∞）时，F′（x）＜0

所以F（x）在（0，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减．

故x=2时，F（x）有极大值，且F（2）=-8+24+9=25．

（Ⅱ）原方程变形为lg（x-1）+2lg=2lg，

⇔⇔，

①当1＜a＜4时，原方程有一解x=3-，

②当4＜a＜5时，原方程有两解x=3±，

③当a=5时，原方程有一解x=3，

④当a≤1或a＞5时，原方程无解．

（Ⅲ）由已知得h（1）+h（2）+…+h（n）=，

f（n）h（n）-=，

从而a1=s1=1，

当k≥2时，an=sn-sn-1=，

又=

=

=＞0

即对任意的k≥2，有，

又因为a1=1=，

所以a1+a2+…+an≥，

则sn≥h（1）+h（2）+…+h（n），故原不等式成立．

解：（1）函数f（x）=x3-ax2-4x的导数为f′（x）=3x2-2ax-4，

在x=-1时取得极值，可得f′（-1）=0，

即有3+2a-4=0，解得a=；

（2）假设存在实数a，使函数f（x）在[-2，2]上单调递减．

即有f′（x）=3x2-2ax-4≤0在[-2，2]上恒成立，

令g（x）=3x2-2ax-4，即有g（-2）≤0，且g（2）≤0，

即有8+4a≤0且8-4a≤0，解得-2≤a≤2．

故存在，a的取值范围为[-2，2]．