热门试卷

解：（Ⅰ）f（x）的导数为f′（x）=-a，

由题意可得f′（1）=0，且f（1）=1，

即为1-a=0，且-a-b=1，

解得a=1．b=-2，经检验符合题意．

故a=1，b=-2；

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f′（x）=-a，x＞1，0＜＜1，

①若a≤0，f′（x）＞0，f（x）在（1，+∞）递增；

②0＜a＜1，x∈（1，），f′（x）＞0，x∈（，+∞），f′（x）＜0；

③a≥1，f′（x）＜0．f（x）在（1，+∞）递减．

综上可得，a≤0，f（x）在（1，+∞）递增；

0＜a＜1，f（x）在（1，）递增，在（，+∞）递减；

a≥1，f（x）在（1，+∞）递减．

（Ⅲ）f′（x0）=-a=-a，

直线AB的斜率为k===-a，

f′（x0）＜k⇔＜，

即x2-x1＜ln[λx1+（1-λ）x2]，

即为-1＜ln[λ+（1-λ）]，

令t=＞1，t-1＜lnt[λ+（1-λ）t]，

即t-1-tlnt+λ（tlnt-lnt）＜0恒成立，

令函数g（t）=t-1-tlnt+λ（tlnt-lnt），t＞1，

①当0＜λ时，g′（t）=-lnt+λ（lnt+1-）=，

令φ（t）=-tlnt+λ（tlnt+t-1），t＞1，

φ′（t）=-1-lnt+λ（2+lnt）=（λ-1）lnt+2λ-1，

当0＜λ≤时，φ′（t）＜0，φ（t）在（1，+∞）递减，则φ（t）＜φ（1）=0，

故当t＞1时，g′（t）＜0，

则g（t）在（1，+∞）递减，g（t）＜g（1）=0符合题意；

②当＜λ＜1时，φ′（t）=（λ-1）lnt+2λ-1＞0，

解得1＜t＜，

当t∈（1，），φ′（t）＞0，φ（t）在（1，）递增，φ（t）＞φ（1）=0；

当t∈（1，），g′（t）＞0，g（t）在（1，）递增，g（t）＞g（1）=0，

则有当t∈（1，），g（t）＞0不合题意．

即有0＜λ≤．

解：（I），f‘（x）=0，得，或x2=2，

列表：

函数f（x）在处取得极大值，

函数f（x）在x=2处取得极小值f（2）=ln2-1；（4分）

（II）：，x∈（1，3）时，，（5分）

（i）当1+a≤2，即a≤1时，x∈（1，3）时，

f'（x）＞0，函数f（x）在（1，3）是增函数∀x∈（1，3），f（x）＞f（1）=0恒成立；（7分）

（ii）当，即时，x∈（1，3）时，

f'（x）＜0，函数f（x）在（1，3）是减函数∀x∈（1，3），f（x）＜f（1）=0恒成立，不合题意（9分）

（iii）当，即时，x∈（1，3）时，

f'（x）先取负，再取，最后取正，函数f（x）在（1，3）先递减，再递增，

而f（1）=0，∴∀x∈（1，3），f（x）＞f（1）=0不能恒成立；（11分）

综上，a的取值范围是a≤1．（12分）