函数的极值与导数的关系
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题型：单选题

单选题

设函数f（x）=ax3+bx2+cx+d在x=0处有极大值1，在x=2处有极小值0，则常数a，b，c，d分别为（　　）

A-，-，0，1

B-，-，0，-1

C，-，0，-1

D，-，0，1

正确答案

解析

解：f′（x）=3ax2+2bx+c

由题意知，

解得，a=，b=，c=0，d=1．

故选：D．

题型：单选题

单选题

函数f（x）=x3-4x+4的极大值与极小值之和为（　　）

C10

D12

正确答案

解析

解：f′（x）=x2-4，令f′（x）=0得x=±2；

x=-2，和x=2中有一个极大值点，一个极小值点；

∴函数f（x）的极大值与极小值之和为：f（-2）+f（2）=8．

故选A．

题型：填空题

填空题

函数f（x）=ax2-2x-9在x=1处取得极值，则实数a=______．

正确答案

解析

解：f′（x）=2ax-2；

∵函数f（x）=ax2-2x-9在x=1处取得极值，

∴f′（1）=2a-2=0

∴a=1．

故答案为：1．

题型：简答题

简答题

已知f（x）是二次函数，不等式f（x）＜0的解集是（0，5），且f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线6x+y+1=0平行．

（1）求f（x）的解析式；

（2）是否存在t∈N，使得方程f（x）+=0在区间（t，t+1）内有两个不等的实数根？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．

正确答案

解：（1）∵f（x）是二次函数，且f（x）＜0的解集是（0，5），

∴可设f（x）=ax（x-5）=ax2-5ax，（a＞0）．

∴f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率是：f′（1）=-3a=-6．

∴a=2，∴f（x）=2x（x-5）=2x2-10x（x∈R）．

（2）方程=0等价于方程 2x3-10x2+37=0．

设h（x）=2x3-10x2+37，则h‘（x）=6x2-20x=2x（3x-10）．

在区间x∈（0，）时，h'（x）＜0，h（x）是减函数；

在区间（-∞，0），或（，+∞）上，h'（x）＞0，h（x）是增函数，故h（0）是极大值，h（）是极小值．

∵h（3）=1＞0，h（）=-＜0，h（4）=5＞0，

∴方程h（x）=0在区间（3，），（，4）内分别有惟一实数根，故函数h（x）在（3，4）内有2个零点．

而在区间（0，3），（4，+∞）内没有零点，在（-∞，0）上有唯一的零点．

画出函数h（x）的单调性和零点情况的简图，如图所示．

所以存在惟一的正整数t=3，使得方程f（x）+=0在区间（t，t+1）内有且只有两个不同的实数根．

解析

解：（1）∵f（x）是二次函数，且f（x）＜0的解集是（0，5），

∴可设f（x）=ax（x-5）=ax2-5ax，（a＞0）．

∴f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率是：f′（1）=-3a=-6．

∴a=2，∴f（x）=2x（x-5）=2x2-10x（x∈R）．

（2）方程=0等价于方程 2x3-10x2+37=0．

设h（x）=2x3-10x2+37，则h‘（x）=6x2-20x=2x（3x-10）．

在区间x∈（0，）时，h'（x）＜0，h（x）是减函数；

在区间（-∞，0），或（，+∞）上，h'（x）＞0，h（x）是增函数，故h（0）是极大值，h（）是极小值．

∵h（3）=1＞0，h（）=-＜0，h（4）=5＞0，

∴方程h（x）=0在区间（3，），（，4）内分别有惟一实数根，故函数h（x）在（3，4）内有2个零点．

而在区间（0，3），（4，+∞）内没有零点，在（-∞，0）上有唯一的零点．

画出函数h（x）的单调性和零点情况的简图，如图所示．

所以存在惟一的正整数t=3，使得方程f（x）+=0在区间（t，t+1）内有且只有两个不同的实数根．

题型：简答题

简答题

设f（x）=（xlnx+ax+a2-a-1）ex，a≥-2．

（1）若a=0，求f（x）的单调区间；

（2）讨论f（x）在区间（，+∞）上的极值点个数．

正确答案

解：（1）当a=0时，f（x）=（xlnx-1）ex，（x＞0）

故f′（x）=（lnx+1+xlnx-1）ex=（x+1）exlnx．

当x=1时，f′（x）=0，当x＞1时，f′（x）＞0，当x＜1时，f′（x）＜0．

故f（x）的减区间为（0，1），增区间为（1，+∞）．

（2）由f（x）=（xlnx+ax+a2-a-1）ex，

得：f′（x）=（lnx+xlnx+ax+a2）ex，

令g（x）=lnx+xlnx+ax+a2，则，，

显然g′′（1）=0，又当0＜x＜1时，g′′（x）＜0，当x＞1时g′′（x）＞0．

所以，g′（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．

故，∵a≥-2，∴g′（x）≥g′（x）min=2+a≥0．

故g（x）在（0，+∞）上为增函数，则在区间上单调递增，

注意到：当x→+∞时，g（x）→+∞，故g（x）在上的零点个数由

的符号决定．

①当，即或a≥1时，g（x）在区间上无零点，

即f（x）无极值点．

②当，即时，g（x）在区间上有唯一零点，

即f（x）有唯一极值点．

综上：当或a≥1时，f（x）在上无极值点．

当时，f（x）在上有唯一极值点．

解析

解：（1）当a=0时，f（x）=（xlnx-1）ex，（x＞0）

故f′（x）=（lnx+1+xlnx-1）ex=（x+1）exlnx．

当x=1时，f′（x）=0，当x＞1时，f′（x）＞0，当x＜1时，f′（x）＜0．

故f（x）的减区间为（0，1），增区间为（1，+∞）．

（2）由f（x）=（xlnx+ax+a2-a-1）ex，

得：f′（x）=（lnx+xlnx+ax+a2）ex，

令g（x）=lnx+xlnx+ax+a2，则，，

显然g′′（1）=0，又当0＜x＜1时，g′′（x）＜0，当x＞1时g′′（x）＞0．

所以，g′（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．

故，∵a≥-2，∴g′（x）≥g′（x）min=2+a≥0．

故g（x）在（0，+∞）上为增函数，则在区间上单调递增，

注意到：当x→+∞时，g（x）→+∞，故g（x）在上的零点个数由

的符号决定．

①当，即或a≥1时，g（x）在区间上无零点，

即f（x）无极值点．

②当，即时，g（x）在区间上有唯一零点，

即f（x）有唯一极值点．

综上：当或a≥1时，f（x）在上无极值点．

当时，f（x）在上有唯一极值点．

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