热门试卷

解：（Ⅰ）（1）当cosθ=0时，f（x）=4x3，则f（x）在（-∞，+∞）内是增函数，故无极值．

（II）f‘（x）=12x2-6xcosθ，令f′（x）=0，得x1=0，．由（1）知，只需分下面两种情况讨论．

（1）当cosθ＞0时，随x的变化f′（x）的符号及f（x）的变化情况如下表：

∴f（x）在x=处取得极小值，且f（）=＞0

∴

∴或

（2）cos θ＜0时，随x的变化f′（x）的符号及f（x）的变化情况如下表：

∵f（x）在x=0处取得极小值f（0），且f（0）=

若f（0）＞0则cosθ＞0与已知cosθ＜0矛盾

∴当cosθ＜0时，f（x）的极大值不会大于0

综上可得，要使得函数f（x）在R上的极小值大于0，

（III）由（II）知，函数f（x）在区间（-∞，0）与 （cosθ，+∞）内都是增函数．

由题设，函数f（x）在（2a-1，a）内是增函数，

则a须满足不等式组     或 

 由（II），时，0＜cosθ＜

要使不等式 2a-1≥ cosθ关于参数θ恒成立，必有 2a-1≥

∴

综上可得，a≤0或

解：（Ⅰ）由条件知点M（t，t2），f‘（x）=2x，

则切线的斜率为k=f'（t）=2t，

由点斜式得l的方程为y-t2=2t（x-t），

当x=1时，y=2t-t2；当y=0时，，即，Q（1，2t-t2），

所以S=g（t）==，

即g（t）=．

（Ⅱ），

当时，g'（t）＞0，g（t）单调递增；

当时，g'（t）＜0，g（t）单调递减．

又，，g（0）=0，

所以要使△PQN的面积为b时的点M恰好有两个，

则函数g（t）的图象上的点M的纵坐标为b时，横坐标有两个，

从而．

解：（1）由于函数f（x）=（3x2-6x+6）ex-x3．

则f′（x）=（3x2-6x+6+6x+6）ex-3x2=3x2（ex-1），

∴当x＞0时，f′（x）＞0；当x＜0时，f′（x）＜0．

则函数f（x）的单调增区间是（0，+∞），减区间是（-∞，0）．

所以f（x）在x=0处取得极小值f（0）=6，无极大值；

（2）∵f（x1）=f（x2），且满足x1≠x2，由（1）可知x1，x2异号．

不妨设x1＜0＜x2，则-x1＞0．

令g（x）=f（x）-f（-x）=（3x2-6x+6）ex-x3-[（3x2+6x+6）e-x+x3]

=（3x2-6x+6）ex-（3x2+6x+6）e-x-2x3，

则g′（x）=3x2ex+3x2e-x-6x2=3x2（ex+e-x-2）≥0，

所以g（x）在R上是增函数，

又g（x1）=f（x1）-f（-x1）＜g（0）=0，∴f（x2）=f（x1）＜f（-x1），

又∵f（x）在（0，+∞）上是增函数，

∴x2＜-x1，即x1+x2＜0．