热门试卷

解：（1）令h（x）==（x∈R），则h′（x）==，

令h′（x）=0，解得x=1，6．列出表格：

由表格可知：当x=1时，函数h（x）取得极小值，h（1）=．

（2）令u（x）=f′（x）+a•g（x）=（2x-5）+aex，u′（x）=2+aex，

①当a≥0时，u′（x）＞0，函数u（x）在（-∞，4]上单调递增，

又x→-∞时，u（x）→-∞，u（4）=3+ae4＞0，因此函数u（x）有且只有一个零点．

②当a＜0时，令u′（x）=0，解得x0=．

当a＜-时，x0＜4．x＜x0，u′（x）＞0，函数u（x）在（-∞，x0）上单调递增；x0＜x＜4时，u′（x）＜0，函数u（x）在（-∞，x0）上单调递减．此时x0为函数u（x）的极大值点，u（x0）=2x0-7=-7．

当x0=时，u（x0）=0，此时函数在（-∞，4]上有且只有一个零点．

当x0＜时，u（x0）＜0，此时函数u（x）在（-∞，4]上无零点．

当＜x0＜4时，u（x0）＞0，此时函数在（-∞，x0）上有且只有一个零点，由于u（4）=3+ae4．

③当a≤时，u（4）≤0时，此时函数在（x0，4]上有且只有一个零点；

当＜a＜时，u（4）＞0时，此时函数在（x0，4]上无零点．

当a=-时，x0=4．u′（x）＞0，此时函数u（x）在（-∞，4）上单调递增，且u（0）=-5+a＜0，u（4）=3+ae4＞3-2=1＞0，∴此时存在一个零点．

当-＜a＜0时，x0＞4．u′（x）＞0，此时函数u（x）在（-∞，4]上单调递增，且u（0）=-5+a＜0，u（4）=3+ae4＞3-2=1＞0，∴此时存在一个零点．

（3）不等式[xf（x）+t]•g（x）≤x，化为[x（x2-5x+1）+t]•ex≤x．（*）

∵存在实数t∈[0，2]，使得对任意x∈[1，m]，不等式[xf（x）+t]•g（x）≤x恒成立，

∴（*）⇔存在实数t∈[0，2]，使得对任意x∈[1，m]，t≤-（x3-5x2+x）．

∴（*）⇔使得对任意x∈[1，m]，0≤-（x3-5x2+x），化为ex（x2-5x+1）-1≤0．

令v（x）=ex（x2-5x+1）-1，x∈[1，m]．

v′（x）=ex（x2-3x-4）=ex（x-4）（x+1）．

令v′（x）＞0，解得x＞4，此时函数v（x）单调递增；令v′（x）＜0，解得1≤x＜4，此时函数v（x）单调递减．

∴当x=4时，函数v（x）取得极小值，v（4）=-3e4-1＜0，

又v（1）=-3e-1＜0，v（5）=e5-1＞0，

因此整数m的最大值为4．

解：（1）因为，所以，其定义域为（0，+∞）．…（1分）

当a=0时，，…（2分）

令ϕ‘（x）=0，解得，当时，ϕ'（x）＜0；当时，ϕ′（x）＞0．

所以ϕ（x）的单调减区间为，单调增区间为；

当时，ϕ（x）有极小值，无极大值…（4分）

（2）因为

所以，（x＞0）．

当a＜-2时，，令ϕ'（x）＜0，得，或；令ϕ'（x）＞0，得．

当a＜-2时，ϕ（x）的单调增区间为；单调递减区间为，…（8分）

（3）由（2）可知当-3＜a＜-2时，ϕ（x）在[1，3]上单调递减，

所以ϕ（x）max=ϕ（1）=2a+1，．，

因为对∀λ1，λ2∈[1，3]，使得|ϕ（λ1）-ϕ（λ2）|＜（m+ln2）a-2ln3恒成立，

所以…（10分）

整理得：，

又因为-3＜a＜-2，a＜0，

所以，

因为-3＜a＜-2，，，

所以，

故实数m的取值范围是．…（12分）

解：（1）f（x）=ax2+2x+1-lnx的导数为f′（x）=2ax+2-=，

当a=-时，f′（x）=-=-，

当x＞0时，f′（x）≤0恒成立，即有f（x）在（0，+∞）递减，

则有f（x）不存在极值点；

（2）由于f′（x）=2ax+2-=（x＞0），

令h（x）=2ax2+2x-1，

f（x）有两个极值点的充要条件即为h（x）=0有两个不相等的正根，

则有a≠0，判别式4+8a＞0，且-＞0，-＞0，

解得-＜a＜0；

（3）由于f′（x）=2ax+2-=（x＞0），

令h（x）=2ax2+2x-1，

当a=0时，h（x）=2x-1，当x＞，f（x）递增，0＜x＜，f（x）递减，

不合题意；

当a＞0，g（x）的对称轴x=-＜0，g（x）在（0，+∞）递增，g（0）=-1＜0，

即有g（x）在x＞0上有正有负，f（x）有增有减，不合题意；

当a＜0时，g（x）的对称轴x=-＞0，g（0）=-1＜0，

由题意可得g（x）只需满足判别式4+8a≤0即可．

解得a≤-．

综上可得a的取值范围为（-∞，-]．

解：（Ⅰ）

（Ⅱ）

则函数f（x）的单调递增区间为，

令f′（x）＜0，得1＜x＜，

单调递减区间为；

则f（x）在x=处取极小值，无极大值．