- 函数的极值与导数的关系
- 共7619题
若函数y=x3-2x2+mx，当x=
A3
B2
C1
D
正确答案
解析
解：y′=3x2-4x+m，
∵当x=
∴3×
即
即m-1=0．
∴m=1．
故选C．
设函数f（x）=xlnx，则f（x）的极小值点为（ ）
Ax=e
Bx=ln2
Cx=e2
Dx=
正确答案
解析
解：函数的定义域为（0，+∞）
求导函数，可得f′（x）=1+lnx
令f′（x）=1+lnx=0，可得x=
∴0＜x＜
∴x=
故选：D．
已知函数f（x）=（2-a）lnx+
（1）当a=0，求f（x）的极值
（2）求f（x）的单调区间．
正确答案
解：（1）依题意知f（x）的定义域为（0，+∞），
当a=0时，f（x）=2lnx+
令f′（x）=0，解得x=
当0＜x＜
当x≥
又∵f（
∴f（x）的极小值为2-2ln2，无极大值．
（Ⅱ）f′（x）=
当a＞0时，令f′（x）＜0 得-
当a＜-2时，-
令f′（x）＜0 得 0＜x＜-
令f′（x）＞0 得-
当-2＜a＜0时，得-
令f′（x）＜0 得 0＜x＜
令f′（x）＞0 得 
当a=-2时，f′（x）=-
综上所述，当a＞0时，递减区间为（-
当a=0时，递减区间为（0，
当a＜-2时，f（x）的递减区间为（0，-
当a=-2时，f（x）在（0，+∞）单调递减；
当-2＜a＜0时，f（x）的递减区间为（0，
解析
解：（1）依题意知f（x）的定义域为（0，+∞），
当a=0时，f（x）=2lnx+
令f′（x）=0，解得x=
当0＜x＜
当x≥
又∵f（
∴f（x）的极小值为2-2ln2，无极大值．
（Ⅱ）f′（x）=
当a＞0时，令f′（x）＜0 得-
当a＜-2时，-
令f′（x）＜0 得 0＜x＜-
令f′（x）＞0 得-
当-2＜a＜0时，得-
令f′（x）＜0 得 0＜x＜
令f′（x）＞0 得
当a=-2时，f′（x）=-
综上所述，当a＞0时，递减区间为（-
当a=0时，递减区间为（0，
当a＜-2时，f（x）的递减区间为（0，-
当a=-2时，f（x）在（0，+∞）单调递减；
当-2＜a＜0时，f（x）的递减区间为（0，
已知函数y=ax3-15x2+36x-24在x=3处有极值，则函数的递减区间为（ ）
正确答案
解析
解：对函数y=ax3-15x2+36x-24求导数，得y‘=3ax2-30x+36
∵函数y=ax3-15x2+36x-24在x=3处有极值，
∴当x=3时，y'=27a-54=0，解之得a=2
由此可得函数解析式为y=2x3-15x2+36x-24，
得y'=6x2-30x+36，解不等式y'＜0，得2＜x＜3
∴函数的递减区间为（2，3）
故选：C
已知函数f（x）=kx3-3x2+1（k≥0）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）的极小值大于0，求k的取值范围．
正确答案
解：（I）当k=0时，f（x）=-3x2+1
∴f（x）的单调增区间为（-∞，0]，单调减区间[0，+∞）．
当k＞0时，f‘（x）=3kx2-6x=3kx（x-
∴f（x）的单调增区间为（-∞，0]，[
（II）当k=0时，函数f（x）不存在最小值．
当k＞0时，依题意f（
即k2＞4，由条件k＞0，所以k的取值范围为（2，+∞）
解析
解：（I）当k=0时，f（x）=-3x2+1
∴f（x）的单调增区间为（-∞，0]，单调减区间[0，+∞）．
当k＞0时，f‘（x）=3kx2-6x=3kx（x-
∴f（x）的单调增区间为（-∞，0]，[
（II）当k=0时，函数f（x）不存在最小值．
当k＞0时，依题意f（
即k2＞4，由条件k＞0，所以k的取值范围为（2，+∞）
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