- 函数的极值与导数的关系
- 共7619题
已知f′（x）是f（x）的导函数，f（x）=ln（x+1）+m-2f′（1），m∈R，且函数f（x）的图象过点（0，-2）．
（1）求函数y=f（x）的表达式；
（2）设
正确答案
解：（1）由已知得
又f（0）=-2∴
∴m=-1，（5分）
∴f（x）=ln（x+1）-2（6分）
（2）∵
∴!
又x∈（-1，0）∪（0，+∞）
由
∴
∴
由g‘（x）＞0，解得
由g'（x）＜0，解得
则g（x）的单调增区间是
单调递减区间是
故g（x）极大值为
极小值为g（1）=1+2ln2-4=-3+2ln2．（14分）
解析
解：（1）由已知得
又f（0）=-2∴
∴m=-1，（5分）
∴f（x）=ln（x+1）-2（6分）
（2）∵
∴!
又x∈（-1，0）∪（0，+∞）
由
∴
∴
由g‘（x）＞0，解得
由g'（x）＜0，解得
则g（x）的单调增区间是
单调递减区间是
故g（x）极大值为
极小值为g（1）=1+2ln2-4=-3+2ln2．（14分）
已知函数
（1）求a的值；
（2）判断方程f（x）+2=g（x）根的个数并说明理由；
（3）设点A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2）是函数y=g（x）图象上的两点，平行于AB的切线以P（x0，y0）为切点，求证：x1＜x0＜x2．
正确答案
解：（1）依题意
∵h（x）无极值，h′（x）存在零点
∴x2lna-2xlna+1=0的△=0，
即4（lna）2-4lna=0，解得a=e或1，
∵g（x）=logax，
∴a≠1，
∴所求的a的值为e．
（2）方程f（x）+2=g（x）可变形为
在同一坐标系中作出函数
∴方程f（x）+2=g（x）有两个不相等的实数根．
（3）由已知
所以
设
当t≥1时，
所以t＞1时，t-1-lnt＞0，所以x0-x1＞0得x0＞x1成
同理可得x0＜x2成立，所以x1＜x0＜x2
解析
解：（1）依题意
∵h（x）无极值，h′（x）存在零点
∴x2lna-2xlna+1=0的△=0，
即4（lna）2-4lna=0，解得a=e或1，
∵g（x）=logax，
∴a≠1，
∴所求的a的值为e．
（2）方程f（x）+2=g（x）可变形为
在同一坐标系中作出函数
∴方程f（x）+2=g（x）有两个不相等的实数根．
（3）由已知
所以
设
当t≥1时，
所以t＞1时，t-1-lnt＞0，所以x0-x1＞0得x0＞x1成
同理可得x0＜x2成立，所以x1＜x0＜x2
已知函数f（x）=lnx-mx+1，m∈R．
（Ⅰ）若函数f（x）在x=1处取得极值，求m的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）若不等式f（x）＜1在x∈[1，+∞）恒成立，求m的取值范围．
正确答案
解：f（x）=lnx-mx+1的定义域为（0，+∞），
（Ⅰ）
∵f′（1）=0，
∴m=1；
经检验，符合题意．
（Ⅱ）∵
当m≤0时，f′（x）＞0恒成立，
则f（x）的单调递增区间为（0，+∞），
当m＞0时，由f′（x）＞0得 
由f′（x）＜0得
综上所述，当m≤0时，f（x）的单调递增区间为（0，+∞），无单调减区间；
当m＞0时，f（x）的单调递增区间是
（Ⅲ）f（x）＜1可化为lnx-mx+1＜1，
即m＞
令g（x）=
则g（x）在（1，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减；
故gmax（x）=g（e）=
则m＞
故m的取值范围是（
解析
解：f（x）=lnx-mx+1的定义域为（0，+∞），
（Ⅰ）
∵f′（1）=0，
∴m=1；
经检验，符合题意．
（Ⅱ）∵
当m≤0时，f′（x）＞0恒成立，
则f（x）的单调递增区间为（0，+∞），
当m＞0时，由f′（x）＞0得
由f′（x）＜0得
综上所述，当m≤0时，f（x）的单调递增区间为（0，+∞），无单调减区间；
当m＞0时，f（x）的单调递增区间是
（Ⅲ）f（x）＜1可化为lnx-mx+1＜1，
即m＞
令g（x）=
则g（x）在（1，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减；
故gmax（x）=g（e）=
则m＞
故m的取值范围是（
函数f（x）=-x3+x2+x+m．
（1）当m=0时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）有三个零点，求实数m的取值范围．
正确答案
解析
解：（1）m=0时，f（x）=-x3+x2+x，
∴f′（x）=-3x2+2x+1，
令f′（x）＞0，解得：-
令f′（x）＜0，解得：x＞1，或x＜-
∴函数的增区间为
（2）由（1）可得：
若函数f（x）有三个零点，
画出草图，如图示：
需满足极小值小于0，极大值大于0，
则：
∴-1＜m＜
已知f（x）=（x3+bx2+cx+d）•ex，且f（0）=4-5b，x=1为f（x）的极值点，g（x）=（2x+2）•e-2x．
（I）若f（x）在（2，+∞）上递增，求b的取值范围；
（II）对任意x1∈[0，1]，存在x2使得f（x1）=g（x2）成立，求b的取值范围．
正确答案
解：（I）由f（0）=4-5b得d=4-5b，
又f′（x）=[x3+（b+3）x2+（c+2b）x+c+d]ex∵x=1为f（x）的极值点
∴f′（1）=0
得c=b-4
f（x）=[x3+bx2+（b-4）x+4-5b]•ex，
f′（x）=（x+b）（x2+3x-4）ex≥0，∀x∈（2，+∞）恒成立，
b≥-2
（II）由g′（x）=e-2x（-4x-2）得，g（x）在
故g（x）的值域为（-∞，e]，
f′（x）=（x+b）（x2+3x-4）ex=（x+b）（x+4）（x-1）ex
①当-b≥1即b≤-1时，f（x）在[0，1]上递增
所以f（x）的值域为[4-5b，1-3b]
∵对任意x1∈[0，1]，存在x2使得f（x1）=g（x2）成立
∴1-3b≤e
此时无解
②当0≤-b≤1即-1≤b≤0时，f（x）在[0，-b]上递增，在[-b，1]上递减
∴当x=-b时，f（x）有最大值为f（-b）=e-b（-b2-b+4）
∵对任意x1∈[0，1]，存在x2使得f（x1）=g（x2）成立
∴e-b（-b2-b+4）≤e
解得不存在b
③当b＞0时
f（x）在[0，1]上递减
∴f（x）的值域为[1-3b，4-5b]
∵对任意x1∈[0，1]，存在x2使得f（x1）=g（x2）成立
∴4-5b≤e
解得
解析
解：（I）由f（0）=4-5b得d=4-5b，
又f′（x）=[x3+（b+3）x2+（c+2b）x+c+d]ex∵x=1为f（x）的极值点
∴f′（1）=0
得c=b-4
f（x）=[x3+bx2+（b-4）x+4-5b]•ex，
f′（x）=（x+b）（x2+3x-4）ex≥0，∀x∈（2，+∞）恒成立，
b≥-2
（II）由g′（x）=e-2x（-4x-2）得，g（x）在
故g（x）的值域为（-∞，e]，
f′（x）=（x+b）（x2+3x-4）ex=（x+b）（x+4）（x-1）ex
①当-b≥1即b≤-1时，f（x）在[0，1]上递增
所以f（x）的值域为[4-5b，1-3b]
∵对任意x1∈[0，1]，存在x2使得f（x1）=g（x2）成立
∴1-3b≤e
此时无解
②当0≤-b≤1即-1≤b≤0时，f（x）在[0，-b]上递增，在[-b，1]上递减
∴当x=-b时，f（x）有最大值为f（-b）=e-b（-b2-b+4）
∵对任意x1∈[0，1]，存在x2使得f（x1）=g（x2）成立
∴e-b（-b2-b+4）≤e
解得不存在b
③当b＞0时
f（x）在[0，1]上递减
∴f（x）的值域为[1-3b，4-5b]
∵对任意x1∈[0，1]，存在x2使得f（x1）=g（x2）成立
∴4-5b≤e
解得
扫码查看完整答案与解析