- 函数的极值与导数的关系
- 共7619题
已知函数f（x）=ax2+xlnx（a∈R）的图象在点（1，f（1））处的切线与直线x+3y=0垂直．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）求证：当n＞m＞0时，lnn-lnm＞
（Ⅲ）若存在k∈Z，使得f（x）＞k恒成立，求实数k的最大值．
正确答案
解：（Ⅰ）∵f（x）=ax2+xlnx，∴f′（x）=2ax+lnx+1，
∵切线与直线x+3y=0垂直，∴切线的斜率为3，
∴f′（1）=3，即2a+1=3，故a=1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=x2+xlnx，a∈（0，+∞），f′（x）=2x+lnx+1，x∈（0，+∞），
∵f′（x）在（0，+∞）上单调递增，∴当x＞1时，有f′（x）＞f′（1）=3＞0，
∴函数f（x）在区间（1，+∞）上单调递增，
∵n＞m＞0，∴
即
∴lnn-lnm＞
（Ⅲ）由（Ⅰ）知f（x）=x2+xlnx，a∈（0，+∞），f′（x）=2x+lnx+1，x∈（0，+∞），
令g（x）=2x+lnx+1，x∈（0，+∞），则
由g′（x）＞0对x∈（0，+∞），恒成立，故g（x）在（0，+∞）上单调递增，
又∵
∴存在x0∈
∵g（x）在（0，+∞）上单调递增，
∴当x∈（0，x0）时，g（x）=f′（x）＜0，f（x）在（0，x0）上单调递减；
当x∈（x0，+∞）时，g（x）=f′（x）＞0，f（x）在（x0，+∞）上单调递增；
∴f（x）在x=x0处取得最小值f（x0）
∵f（x）＞k恒成立，所以k＜f（x0）
由g（x0）=0得，2x0+lnx0+1=0，所以lnx0=-1-2x0，
∴f（x0）=
又
∵k∈Z，∴k的最大值为-1．
解析
解：（Ⅰ）∵f（x）=ax2+xlnx，∴f′（x）=2ax+lnx+1，
∵切线与直线x+3y=0垂直，∴切线的斜率为3，
∴f′（1）=3，即2a+1=3，故a=1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=x2+xlnx，a∈（0，+∞），f′（x）=2x+lnx+1，x∈（0，+∞），
∵f′（x）在（0，+∞）上单调递增，∴当x＞1时，有f′（x）＞f′（1）=3＞0，
∴函数f（x）在区间（1，+∞）上单调递增，
∵n＞m＞0，∴
即
∴lnn-lnm＞
（Ⅲ）由（Ⅰ）知f（x）=x2+xlnx，a∈（0，+∞），f′（x）=2x+lnx+1，x∈（0，+∞），
令g（x）=2x+lnx+1，x∈（0，+∞），则
由g′（x）＞0对x∈（0，+∞），恒成立，故g（x）在（0，+∞）上单调递增，
又∵
∴存在x0∈
∵g（x）在（0，+∞）上单调递增，
∴当x∈（0，x0）时，g（x）=f′（x）＜0，f（x）在（0，x0）上单调递减；
当x∈（x0，+∞）时，g（x）=f′（x）＞0，f（x）在（x0，+∞）上单调递增；
∴f（x）在x=x0处取得最小值f（x0）
∵f（x）＞k恒成立，所以k＜f（x0）
由g（x0）=0得，2x0+lnx0+1=0，所以lnx0=-1-2x0，
∴f（x0）=
又
∵k∈Z，∴k的最大值为-1．
已知函数f（x）=ex-a（x-1），x∈R．
（1）若实数a＞0，求函数f（x）在（0，+∞）上的极值；
（2）记函数g（x）=f（2x），设函数y=g（x）的图象C与y轴交于P点，曲线C在P点处的切线与两坐标轴所围成的图形的面积为S（a），求当a＞1时S（a）的最小值．
正确答案
解：（1）由f‘（x）=ex-a=0，得x=lna．
①当a∈（0，1]时，f'（x）=ex-a＞1-a≥0（x＞0）．此时f（x）在（0，+∞）上单调递增．函数无极值．
②当a∈（1，+∞）时，lna＞0．
x变化时f′（x），f（x）的变化情况如下表：
由此可得，函数有极小值且f（x）极小=f（lna）=a-a（lna-1）=2a-alna．
（2）g（x）=f（2x）=e2x-a（2x-1），g（0）=1+a
切线斜率为k=g'（0）=2-2a，切线方程y-（1+a）=（2-2a）（x-0），
由
当且仅当（a-1）2=4，即a=3时取等号．∴当a=3时，S（a）最小值为2．
解析
解：（1）由f‘（x）=ex-a=0，得x=lna．
①当a∈（0，1]时，f'（x）=ex-a＞1-a≥0（x＞0）．此时f（x）在（0，+∞）上单调递增．函数无极值．
②当a∈（1，+∞）时，lna＞0．
x变化时f′（x），f（x）的变化情况如下表：
由此可得，函数有极小值且f（x）极小=f（lna）=a-a（lna-1）=2a-alna．
（2）g（x）=f（2x）=e2x-a（2x-1），g（0）=1+a
切线斜率为k=g'（0）=2-2a，切线方程y-（1+a）=（2-2a）（x-0），
由
当且仅当（a-1）2=4，即a=3时取等号．∴当a=3时，S（a）最小值为2．
已知函数f（x）=（2x-x2）ex，则（ ）
A
B
C
Df（x）没有最大值也没有最小值
正确答案
解析
解：函数f（x）=（2x-x2）ex，的导数为：
f′（x）=（2-2x）ex+（2x-x2）ex=（2-x2）ex，
当-
当x＞
则f（
由于x＞
则f（
故选A．
设a为实数，函数f（x）=ex-2x+2a，x∈R．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间与极值；
（Ⅱ）求证：当a＞ln2-1且x＞0时，ex＞x2-2ax+1．
正确答案
解析
（Ⅰ）解：∵f（x）=ex-2x+2a，x∈R，
∴f′（x）=ex-2，x∈R．
令f′（x）=0，得x=ln2．
于是当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：
故f（x）的单调递减区间是（-∞，ln2），
单调递增区间是（ln2，+∞），
f（x）在x=ln2处取得极小值，
极小值为f（ln2）=eln2-2ln2+2a=2（1-ln2+a），无极大值．
（Ⅱ）证明：设g（x）=ex-x2+2ax-1，x∈R，
于是g′（x）=ex-2x+2a，x∈R．
由（1）知当a＞ln2-1时，
g′（x）最小值为g′（ln2）=2（1-ln2+a）＞0．
于是对任意x∈R，都有g′（x）＞0，所以g（x）在R内单调递增．
于是当a＞ln2-1时，对任意x∈（0，+∞），都有g（x）＞g（0）．
而g（0）=0，从而对任意x∈（0，+∞），g（x）＞0．
即ex-x2+2ax-1＞0，
故当a＞ln2-1且x＞0时，ex＞x2-2ax+1．
已知函数f（x）=x3+bx2+cx，对任意的b，c∈[-3，3]．f（x）在（-1，1）内既有极大值又有极小值的概率为（ ）
A
B
C
D
正确答案
解析
解：由题意f′（x）=3x2+2bx+c，
∵f（x）在（-1，1）内既有极大值又有极小值，
∴f′（x）=3x2+2bx+c=0的两个根在（-1，1）内，
∴
∵b，c∈[-3，3]，
∴对应区域的面积为36，
∴f（x）在（-1，1）内既有极大值又有极小值的概率为
故选：D．
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