热门试卷

解：（1）f′（x）=1-，

∵函数f（x）=x-ln（x+a）在x=1处取得极值

∴f′（1）=0，∴a=0

（2）由（1）知f（x）=x-lnx，∴f（x）+2x=x2+b    

∴x-lnx+2x=x2+b，∴x2-3x+lnx+b=0

设g（x）=x2-3x+lnx+b（x＞0），则g′（x）=

当x变化时，g′（x），g（x）的变化情况如下表

∴当x=1时，g（x）最小值=g（1）=b-2，g（）=b--ln2，g（2）=b-2+ln2

∵方程f（x）+2x=x2+b在[，2]上恰有两个不相等的实数根

∴，∴，∴+ln2≤b＜2

解：（Ⅰ）当a=4时，f（x）=4x3-3x，f′（x）=12x2-3，

令f′（x）＞0，得x＞或x＜-，令f′（x）＜0，解得：-＜x＜，

∴函数f（x）在（-∞，-），（，+∞）递增，在（-，）递减；

∴函数f（x）的极大值是f（-）=1，极小值是f（）=-1；

（Ⅱ）∵f′（x）=3ax2-3，令f′（x）=3a（x+）（x-）=0，

解得：x=±，

当2≤时，即0＜a≤时，f（x）在区间[1，2]单调递减，

∴f（x）最小值=f（2）=8a-6≥4，解得：a≥，不合题意，舍；

当1＜＜2时，即＜a＜1时，f（x）在区间[1，]递减，在[，2]递增，

∴f（x）最小值=f（）=-2≥4，无解，舍；

当≤1时，即a≥1时，f（x）在区间[1，2]单调递增，

∴f（x）最小值=f（1）=a-3≥4，解得：a≥7，符合题意，

综上，正实数a的范围是：a≥7．

解：（1）∵f（x）=ax3+bx2+cx（a≠0）在x=1和x=-1时取得极值

∴f′（1）=f′（-1）=0，

∴3a+2b+c=0，①3a-2b+c=0．②

又f（1）=-1，∴a+b+c=-1．③

由①②③解得a=，b=0，c=-．

（2）f（x）=x3-x，∴f′（x）=（x-1）（x+1）．

令f′（x）＞0，可得x＜-1或x＞1；令f′（x）＜0，可得-1＜x＜1．

∴函数的单调增区间为（-∞，-1），（1，+∞），单调减区间为（-1，1）

（3）由（2）知，函数的单调增区间为（-∞，-1），（1，+∞），单调减区间为（-1，1）

∴x=-1时，f（x）有极大值；x=1时，f（x）有极小值．