- 函数的极值与导数的关系
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函数f（x）=（1+x-
正确答案
解析
解：在区间[-3，3]上，y=sin2x的零点为0，±
令g（x）=1+x-
则g′（x）=1-x+x2-x3+…+x2014，
当x=-1时，g′（x）＞0；
当x≠-1时，在区间[-3，3]上，g′（x）=1-x+x2-x3+…+x2014=
∴函数是单调递增函数，
当x→+∞时，1+x-
故共有4个零点，
故答案为B．
关于x的方程x3-3x+m-3=0有三个不同的实数根，则m的取值范围是（ ）
正确答案
解析
设f（x）=x3-3x，f‘（x）=3x2-3=3（x+1）（x-1），
当x∈（-∞，-1），f'（x）＞0；
x∈（-1，1），f'（x）＜0；
x∈（1，+∞），f'（x）＞0．
∴f（x）在x=-1取极大值2，在x=1时取极小值-2．
根据f（x）的大致图象的变化情况，有三个不同的实数解时，
-2＜3-m＜2
解得a的取值范围是1＜m＜5．
故选C．
已知函数f（x）=
（Ⅰ）求实数a的值，并确定实数m的取值范围，使得函数φ（x）=f（x）-m有两个零点；
（Ⅱ）是否存在这样的直线l，同时满足：①l是曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线；②l与曲线y=g（x）相切于点P（x0，y0），x0∈[e-1，e]？若存在，求实数b的取值范围；若不存在，请说明理由．
正确答案
解：（I）x＞0时，f（x）=（x2-2ax）ex，∴f‘（x）=（2x-2a）ex+（x2-2ax）ex=[x2+2（1-a）x-2a]ex，
由已知，
得a=1，所以x＞0时，f（x）=（x2-2x）ex，∴f'（x）=（2x-2）ex+（x2-2x）ex=（x2-2）ex．（3分）
令f'（x）=0得
当x＞0时，
当
当
要使函数ϕ（x）=f（x）-m有两个零点，即方程f（x）-m=0有两不相等的实数根，也即函数y=f（x）的图象与直线y=m有两个不同的交点．
由于b＜0，
（II）假设存在，x＞0时，f（x）=（x2-2x）ex，f'（x）=（x2-2）ex，∴f（2）=0，f'（2）=2e2．
函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线l的方程为：y=2e2（x-2），
因直线l与函数g（x）的图象相切于点P（x0，y0），x0∈[e-1，e]，∴y0=clnx0+b.
所以切线l的斜率为
所以切线l的方程为：
得
得b=2e2（x0-x0lnx0-2）其中x0∈[e-1，e]（10分）
记h（x0）=2e2（x0-x0lnx0-2）其中x0∈[e-1，e]，h'（x0）=-2e2lnx0，
令h'（x0）=0，得x0=1．
又h（e）=-4e2，h（e-1）=4e-4e2＞-4e2．∵x0∈[e-1，e]，∴h（x0）∈[-4e2，-2e2]，
所以实数b的取值范围为：b|-4e2≤b≤-2e2．（14分）
解析
解：（I）x＞0时，f（x）=（x2-2ax）ex，∴f‘（x）=（2x-2a）ex+（x2-2ax）ex=[x2+2（1-a）x-2a]ex，
由已知，
得a=1，所以x＞0时，f（x）=（x2-2x）ex，∴f'（x）=（2x-2）ex+（x2-2x）ex=（x2-2）ex．（3分）
令f'（x）=0得
当x＞0时，
当
当
要使函数ϕ（x）=f（x）-m有两个零点，即方程f（x）-m=0有两不相等的实数根，也即函数y=f（x）的图象与直线y=m有两个不同的交点．
由于b＜0，
（II）假设存在，x＞0时，f（x）=（x2-2x）ex，f'（x）=（x2-2）ex，∴f（2）=0，f'（2）=2e2．
函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线l的方程为：y=2e2（x-2），
因直线l与函数g（x）的图象相切于点P（x0，y0），x0∈[e-1，e]，∴y0=clnx0+b.
所以切线l的斜率为
所以切线l的方程为：
得
得b=2e2（x0-x0lnx0-2）其中x0∈[e-1，e]（10分）
记h（x0）=2e2（x0-x0lnx0-2）其中x0∈[e-1，e]，h'（x0）=-2e2lnx0，
令h'（x0）=0，得x0=1．
又h（e）=-4e2，h（e-1）=4e-4e2＞-4e2．∵x0∈[e-1，e]，∴h（x0）∈[-4e2，-2e2]，
所以实数b的取值范围为：b|-4e2≤b≤-2e2．（14分）
已知函数
正确答案
解析
解：由题意，f′（x）=x2+2ax+b，∵f‘（-1）=0，∴b=2a-1，由于其是单调函数，故无极值．故选D．
已知2和-2是函数f（x）=
（1）求a，b的值，
（2）求函数f（x）的极值．
正确答案
解：（1）∵f（x）=
∴f′（x）=x2+2ax+b，
（2）由（1）可知
令f′（x）＞0，得x＜-2或x＞2
令f′（x）＜0，得-2＜x＜2…．（7分）
则x，f′（x）与f（x）的关系如下表：
∴f（x）的极大值为：；极小值为：…．（12分）
解析
解：（1）∵f（x）=
∴f′（x）=x2+2ax+b，
（2）由（1）可知
令f′（x）＞0，得x＜-2或x＞2
令f′（x）＜0，得-2＜x＜2…．（7分）
则x，f′（x）与f（x）的关系如下表：
∴f（x）的极大值为：；极小值为：…．（12分）
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