热门试卷

解：（Ⅰ）f′（x）=3mx2-6（m+1）x+n．

因为x=1是f（x）的一个极值点，所以f‘（1）=0，即3m-6（m+1）+n=0．

所以n=3m+6．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知f′（x）=3mx2-6（m+1）x+3m+6=3m（x-1）[x-（1+）]

当m＜0时，有1＞1+，当x变化时f（x）与f'（x）的变化如下表：

由上表知，当m＜0时，f（x）在（-∞，1+）单调递减，在（1+，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减．

（Ⅲ）由已知，得f′（x）＞3m，即3m（x-1）[x-（1+）]＞3m，

∵m＜0．∴（x-1）[x-1（1+）]＜1．（*）

10x=1时．（*）式化为0＜1怛成立．

∴m＜0．

20x≠1时∵x∈[-1，1]，∴-2≤x-1＜0．

（*）式化为＜（x-1）-．

令t=x-1，则t∈[-2，0），记g（t）=t-，

则g（t）在区间[-2，0）是单调增函数．∴g（t）min=g（-2）=-2-=-．

由（*）式恒成立，必有＜-⇒-＜m，又m＜0．∴-＜m＜0．

综上10、20知-＜m＜0．

解：（Ⅰ）由已知得f′（x）=ax2+2bx+1，令f′（x）=0，得ax2+2bx+1=0，

要取得极值，方程ax2+2bx+1=0恰有两个不同的解，

所以△=4b2-4a＞0，即b2＞a，

综上，当a，b满足b2＞a时，f（x）取得极值．

（Ⅱ）f（x）在区间（0，1]上单调递增，需使f′（x）=ax2+2bx+1≥0在（0，1]上恒成立．

即b≥在（0，1]上恒成立，所以b≥

当a＞1时，，当时，是单调增函数；

当时，是单调减函数，

所以当时，取得最大，最大值为，所以b≥

当0＜a≤1时，，所以在区间（0，1]上单调递增，当x=1时g（x）最大，最大值为g（1）=-，所以b≥

综上，当a＞1时，b≥； 当0＜a≤1时，b≥．

解：由于函数f（x）的定义域为R

f‘（x）=

令f'（x）=0得x=-1或x=1列表：

由上表可以得到

当x∈（-∞，-1）和x∈（1，+∞）时函数为减函数

当x∈（-1，1）时，函数为增函数

所以当x=-1时函数有极小值为-3；当x=1时函数有极大值为-1