热门试卷

解：（1）由题意得，f′（x）=ax+，且x＞0，

∵曲线y=f（x）在x=1处的切线与直线x+2y=0垂直，

∴f′（1）=a+1=2，解得a=1，则f（x）=x2+lnx，

∴dx=

=

的几何意义表示以（1，0）为圆心，以1为半径的圆的面积的四分之一，

∴==，

故；

（2）f′（x）=ax+=，

当a≥0时，，则f′（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）单调递增，

函数f（x）在（，e）内有两个零点不成立；

当a＜0时，由f′（x）=0得，，＜0舍去，

∴当时，f′（x）＞0，则函数f（x）在区间上递增，

当时，f′（x）＜0，则函数f（x）在区间上递减，

当时，函数f（x）取到极大值，也是最大值f（）=，

∵函数f（x）在（，e）内有两个零点，

∴，解得，即，

则实数a的取值范围是：（）；

（3）设g（x）=2lnx+x2-1（x＞0），∴，

则g（x）=2lnx+x2-1在（0，+∞）上是增函数，

∴g（x）=2lnx+x2-1在（1，+∞）上是增函数，则g（x）＞g（1）=0，

令（n为正整数），代入g（x）=2lnx+x2-1得，

＞0，

∴=1-2[ln（n+1）-lnn]

分别取n=1，2，3，…，n得：

4＞1-2（ln2-ln1），1-2（ln3-ln2），1-2（ln4-ln3），

…，1-2[ln（n+1）-lnn]，

以上n个式子相加得：4++…+（）2＞n-2ln（n+1），

综上可得，对任意的正整数n，不等式4++…+（）2＞n-2ln（n+1）都成立．