热门试卷

解：（1）g（x）的导数为g′（x）=cosx-2＜0，

即有g（x）在[0，2π]递减，可得g（x）max=g（0）=2，

=2，可得p1=，f′（x）=x2-5x+m，

令f′（x）=0，可得+=5，

解得p2=；

（2）两人中至少中靶1次分两种情况：

①恰好中靶一次的概率为×（1-）+（1-）×=，

②恰好中靶两次的概率为×=，

则两人中至少中靶1次的概率为+=．

或两人均未中靶的概率为（1-）×（1-）=，

则两人中至少中靶1次的概率为1-=．

解：（1）∵f（x）=lnx-x-1，

∴f′（x）=-1=0，∴x=1，

∵x＞1，f′（x）＜0，0＜x＜1，f′（x）＞0，

∴x=1时，函数f（x）的极大值为-2；

（2）①M（x）==-lnx+x+1（x＞0），

∴M′（x）=．

若k=0，则M′（x）＞0，x＞1，M′（x）＜0，0＜x＜1，

∴M（x）的单调减区间为（0，1），单调增区间为（1，+∞）；

若k＞0，则令P（x）=kx2+x-1，恒过（0，-1），

∴P（x）=0有两个异号根x1，x2（x1＜x2），

∴x2=，

x＞x2，M′（x）＞0；0＜x＜x2，M′（x）＜0

∴M（x）在（0，x2）上单调递减，在（x2，+∞）上单调递增；

若k＜0，令N（x）=kx2+x-1，则对称轴为x=-＞0，△=+4k，

若1+4k≤0，N（x）≤0，M（x）在定义域内单调递减；

1+4k＞0，即-＜k＜0，则N（x）=kx2+x-1有两个不相等的正根，记为x3，x4（x3＜x4），

∴x3=，x4=，

∴M（x）在（0，x3）、（x3，x4）上单调递减，在（x3，x4）上单调递增；

②F（x）=lnx，H（x）=ex，

∵＜1，

∴m＜，x＞0，

令x+1=t（t＞1），G（t）=，

∴G′（t）=

令R（t）=et-t-2（t＞1），则R′（t）=et-1＞0，

∴R（t）=et-t-2在（1，+∞）上单调递增，

∵R（1）=e-3＜0，R（2）＞0，

∴∃t1∈（1，2），使得R（t1）=0，

t∈（0，t1）时，R（t）＜0，∴G′（t）＜0；

t∈（t1，+∞）时，R（t）＞0，∴G′（t）＞0，

∴G（t）min=G（t1）=t1+1，

∵t1∈（1，2），

∴G（t1）∈（2，3），

∴整数m的最大值为2．

解：（1）由已知得f′（x）=3x2-6x+a，

∵在x=-1处的切线与x轴平行

∴f′（-1）=0，解得a=-9．

这时f′（x）=3x2-6x-9=3（x+1）（x-3）

由f′（x）＞0，解得x＞3或x＜-1；

由f′（x）＜0，解-1＜x＜3．

∴f（x）的单调增区间为（-∞，-1），（3，+∞）；单调减区间为（-1，3）．

（2）令g（x）=f（x）-（x2-15x+3）=x3-x2+6x+b-3，

则原题意等价于g（x）图象与x轴有三个交点

∵g′（x）=3x2-9x+6=3（x-1）（x-2）

∴由g′（x）＞0，解得x＞2或x＜1；

由g′（x）＜0，解得1＜x＜2．

∴g（x）在x=1时取得极大值g（1）=b-；g（x）在x=2时取得极小值g（2）=b-1．

故，

∴＜b＜1．

解：（1）由，得f′（x）=x2-4，解得x=±2．

当x∈（-∞，-2），x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0，

函数f（x）在（-∞，-2），（2，+∞）上为增函数；

当x∈（-2，2）时，f′（x）＜0，

函数f（x）在（-2，2）上为减函数，所以

当x=-2时，函数f（x）有极大值为f（-2）=．

当x=2时，函数f（x）有极小值为f（2）=；

（2）由（1）得，f（x）在[0，2]上递减，在（2，3]上递增，

又f（0）=4，f（3）=．

所以，x∈[0，3]时，函数f（x）的最大值为1，最小值为．