热门试卷

解：（1）求导函数可得f′（x）=-（x-3a）（x-a）

∵0＜a＜1，∴由f′（x）＞0可得a＜x＜3a；由f′（x）＞0可得x＜a或x＞3a

∴f（x）的单调递增区间为（a，3a），单调递减区间为（-∞，a）和（3a，+∞）

∴函数f（x）的极大值为f（3a）=b，极小值为f（a）=-

（2）求导函数可得f′（x）=-（x-2a）2+a2，

∵0＜a＜1，∴a+1＞2a

∴函数f′（x）在[a+1，a+2]上单调递减

∴f′（x）max=f′（a+1）=2a-1，f′（x）min=f′（a+2）=4a-4

∵不等式|f‘（x）|≤a恒成立，

∴

∴

∵0＜a＜1

∴实数a的取值范围是．

解：函数f（x）的定义域为R

f′（x）=（2ax-2）e-x-（ax2-2x）e-x=[-ax2+2（a+1）x-2]e-x，

（I）当a=0时，f′（x）=（2x-2）e-x，

由f′（x）＜0，得x＜1，f′（x）＞0得x＞1

∴x=1是函数f（x）的极小值点

当a＞0时，令f′（x）=0得-ax2+2（a+1）x-2=0

解得该方程的两个实根为，，显然x1＜x2，

随着x的变化，f′（x）、f（x）的变化请况如下表

∴是函数的极小值点，是函数的极大值点

（2）f‘（x）=[-ax2+2（a+1）x-2]e-x，

令g（x）=ax2-2（a+1）x+2

①若a=0，则g（x）=-2x+2，在（-1，1）内，g（x）≥0，

即f'（x）≤0，函数f（x）在区间[-1，1]上单调递减．

②若a＞0，则g（x）=ax2-2（a+1）x+2，其图象是开口向上的抛物线，对称轴为x=＞1，

∵g（1）=-a＜0，g（-1）=3a+4＞0，即在（-1，1）内g（x）先正后负，f′（x）先负后正，

函数f（x）在区间[-1，1]上不可能单调

③若a＜0，则g（x）=ax2-2（a+1）x+2，其图象是开口向下的抛物线，

当且仅当g（-1）≥0且g（1）≥0，即-≤a＜0时，在（-1，1）内g（x）＞0，f'（x）＜0，

函数f（x）在区间[-1，1]上单调递减．

综上所述，函数f（x）在区间[-1，1]上单调递减时，a的取值范围是-≤a≤0．

（3）由（1）知，当a=0时，f（x）=（-2x）e-x，在x=1处取得最小值

∴对∀x∈R，（-2x）e-x≥f（1）=-2e-1，即xe-x，≤e-1，ex≥ex

令x=n，则en≥en，即e≥e，e2≥2e，e3≥3e…，en≥en

将上述不等式左右分别相乘得：e1+2+3+…+n=n!en，

即

解：（1）：函数f（x）的定义域为（0，+∞），

∵f（x）=lnx+x2+ax，∴．

∵函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，

∴f‘（x）≥0，即对x∈（0，+∞）都成立．

∴对x∈（0，+∞）都成立．

当x＞0时，，当且仅当，即时，取等号．

∴，即．

∴a的取值范围为．

（2）当a=1时，．

．

∵函数g（x）在[t，+∞）（t∈N*）上存在极值，

∴方程g'（x）=0在[t，+∞）（t∈N*）上有解，

即方程在[t，+∞）（t∈N*）上有解．

令（x＞0），

由于x＞0，则，

∴函数φ（x）在（0，+∞）上单调递减．

∵，

，

∴函数φ（x）的零点x0∈（3，4）．

∵方程φ（x）=0在[t，+∞）（t∈N*）上有解，t∈N*

∴t≤3．

∵t∈N*，

∴t的最大值为3．